Question

Diketahui persamaan x^2 + px + 1 = 0 dan x^2 + qx + r = 0 mempunyai akar persekutuan, demikian pula persamaan x^2 + x + p = 0 dan x^2 + rx + q = 0 juga mempunyai akar persekutuan. Nilai p+q+r = ...

tolong dengan cara dan penjelasannya yaa

Answer 1

Verified answer

Misal akar persekutuan dari x^2 + px + 1 = 0 dan x^2 + qx + r = 0
adalah a, maka
a^2 + pa + 1 = 0 ...... (1)
a^2 + qa + r = 0 ..... (2)
----------------------- -
pa - qa + 1 - r = 0
a(p - q) = r - 1
a = (r - 1)/(p - q) => 1/a = (p - q)/(r - 1)

Dari persamaan (1) diperoleh :
a^2 + pa + 1 = 0
pa = -a^2 - 1 ====> kedua ruas kali 1/a
p = -a - 1/a

Misal akar persekutuan dari x^2 + x + p = 0 dan x^2 + rx + q = 0
adalah b, maka
b^2 + b + p = 0 .... (3)
b^2 + rb + q = 0 ... (4)
---------------------- -
b - rb + p - q = 0
b(1 - r) = q - p
b = (q - p)/(1 - r) = (p - q)/(r - 1) = 1/a
Substitusi ke persamaan 3
b^2 + b + p = 0
=> 1/a^2 + 1/a + p = 0
=> p = -1/a^2 - 1/a

p = p
-1/a^2 - 1/a = -a - 1/a
-1/a^2 = -a
a^3 = 1
a = 1

p = -1/a^2 - 1/a = -1/1^2 - 1/1 = -1 - 1 = -2

Dari persamaan (2) diperoleh
a^2 + qa + r = 0
1^2 + q(1) + r = 0
1 + q + r = 0
q + r = -1

p + q + r = -2 + (-1) = -3