Question

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości a. Łamana, zaznaczona kolorem czerwonym (załącznik), składa się z ośmiu odcinków prostopadłych do odpowiednich boków trójkąta. Wyznacz długość tej łamanej.

tylko twierdzeniami a nie na piechotę

Answer 1

Należy zauważyć, że najdłuższy odcinek = wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną.
Każdy następny odcinek łamanej jest ramieniem lub wysokością trójkąta prostokątnego równoramiennego.
Rysunek w załączniku.
Długość łamanej:
a√2/2 +½a + a√2/4 + ¼a + a√2/8 + ⅛a + a√2/16 + ¹/₁₆a=
=a√2(½+¼+⅛+¹/₁₆) + ¹⁵/₁₆ a=¹⁵/₁₆a√2 + ¹⁵/₁₆a=¹⁵/₁₆a(√2+1)