Dany jest stożek o promieniu podstawy równym 1 i wysokości równej 3. Przecinamy stożek płaszczyzną równoległą do płaszczyzny zawierającej podstawę stożka. W jaki sposób wykonać cięcie aby otrzymać dwie bryły o równych objętościach?
Stożek o wysokości dlugosci h wpisano w kule. Oblicz objetosc kuli wiedzac, że jest ona cztery razy więkasz od objetości stożka.
Powierzchnia boczna walca po rozwinieciu jest kwadratem, ktorego przekątna ma dlugosc d. Wyznacz objętosc walca.
Oblicz stosunek objętosci brył, na jakie dzieli szescian płaszczyzna wyznaczona przez srodki trzech krawędzi o wspolnym wierzchołku.
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o polu równym czwartej części pola kwadratu o przekątnej równej 16pierwiastków z dwóch cm. Oblicz objętość stożka.
Oblicz objętość kuli wiedząc że jej pole powierzchni jest równe .
Metalową kulę o promieniu 10 cm i stożek o średnicy 16 cm i wysokości 12cm przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy 8cm. Jaką wysokość ma ten walec?
Ile litrów wody można wlać do garnka w kształcie walca o średnicy 24 cm i wysokości 15 cm?
Długość promienia walca zmniejszono dziesięciokrotnie. Ile razy trzeba zwiększyć wysokość tego walca aby objętość się nie zmieniła?
Punkty są środkami odpowiednio krawędzi czworościanu . Wykaż, że punkty i są wierzchołkami równoległoboku.
Trójkąt jest podstawą ostrosłupa . Punkt jest środkiem boku i . Odcinek jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt jest prosty.
Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną wynosi . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i środek wysokości ostrosłupa.
Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek to trójkąt ten jest prostokątny.
Dana jest funkcja .
Oblicz miejsce zerowe funkcji. Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią . Oblicz wartość funkcji dla argumentu równego -2. Oblicz, dla jakiego argumentu wartość funkcji wynosi -3. Czy jest to funkcja rosnąca? Dlaczego?Oblicz .
Oblicz .
Uprość wyrażenie .
Dany jest stożek o promieniu podstawy równym 1 i wysokości równej 3. Przecinamy stożek płaszczyzną równoległą do płaszczyzny zawierającej podstawę stożka. W jaki sposób wykonać cięcie aby otrzymać dwie bryły o równych objętościach?
Stożek o wysokości dlugosci h wpisano w kule. Oblicz objetosc kuli wiedzac, że jest ona cztery razy więkasz od objetości stożka.
Powierzchnia boczna walca po rozwinieciu jest kwadratem, ktorego przekątna ma dlugosc d. Wyznacz objętosc walca.
Oblicz stosunek objętosci brył, na jakie dzieli szescian płaszczyzna wyznaczona przez srodki trzech krawędzi o wspolnym wierzchołku.
V=1/3 * Pp * h = 1/3 * pi * 1*1 * 3=pi
Połowa tej objętości to pi/2. Górna część po odcięciu jest stożkiem. Promień podstawy tego stożka i wysokość tego stożka są do siebie w stosunku 1:3. Czyli r=h/3 (r,h - promień i wysokość odciętego, małego stożka). Stąd mamy równanie:
pi/2=1/3 * h *pi* (h/3)2
1/2=1/3 * h3 /9
1/2=1/27 * h3
27/2=h3
h=2.3811
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o polu równym czwartej części pola kwadratu o przekątnej równej 16pierwiastków z dwóch cm. Oblicz objętość stożka.
Oblicz objętość kuli wiedząc że jej pole powierzchni jest równe .
Metalową kulę o promieniu 10 cm i stożek o średnicy 16 cm i wysokości 12cm przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy 8cm. Jaką wysokość ma ten walec?
d- przekatna kwadratu
a- bok kwadratu
d=16√2
d=a√2
a√2=16√2
a=16
P=a²
P=16²
P=256cm²
P₁-pole trójkąta
P₁=¼P
P₁=¼*256
P₁=64
P₁=½*l*l
64=½l²
128=l²
l=8√2
l²+l²=(2r)²
128+128=4r²
256=4r²
r²=64
r=8
H²+r²=l²
H²+8²=128
H²=128-64
H²=64
H=8
V=⅓πr²H
V=⅓π*64*8=512π/3 cm³
Ile litrów wody można wlać do garnka w kształcie walca o średnicy 24 cm i wysokości 15 cm?
Objętośc V=πr²*h
V=3.14*12²*15= 6782,5 cm3 = 6,7825 dm3 = 6,78 litra
Długość promienia walca zmniejszono dziesięciokrotnie. Ile razy trzeba zwiększyć wysokość tego walca aby objętość się nie zmieniła?
V = πr2⋅H .Niech teraz r' = 1/10r i H' będą nowymi wymiarami walca, tak aby nie zmieniła się objętość. Mamy równanie
πr^2 ⋅H = π ⋅(r')^2 ⋅H =-1/100πr^2 ⋅H'
H′ = 100H .
Odpowiedź: Wysokość należy zwiększyć 100 krotnie. Trójkąt jest podstawą ostrosłupa . Punkt jest środkiem boku i . Odcinek jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt jest prosty.
Zacznijmy od punktu M. Z podanych informacji wynika, że jest on środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC (bo jest równoodległy od wszystkich trzech wierzchołków). W takim razie odcinek AB jest średnicą tego okręgu, czyli kąt ACB jest oparty na średnicy, czyli prosty. Zapamiętajmy zatem, że ACB = 90 stopni i możemy zapomnieć o punkcie M.
Ponieważ SA jest wysokością ostrosłupa, płaszczyzny ACS i ABC są do siebie prostopadłe. Ponadto, jak już zauważyliśmy, odcinek BCjest prostopadły do krawędzi wspólnej tych płaszczyzn, czyli do AC. To oznacza, że odcinek ten jest prostopadły do płaszczyzny ACS. W takim razie jest on prostopadły do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności jest prostopadły do SC. Zatem KĄT SCB = 90 STOPNI.