Question

Dana jest funkcja kwadratowa . Funkcja g(m) przyporządkowuje kazdej liczbie rzeczywistej m liczbe różnych miejsc zerowych funkcji f(x). Podaj wzór funkcji g(m)

Answer 1

a= m - 1

b= 2m+4

c= - 6

liczbe miejsc zerowych funkcji kwadratowej okresla wartosc Δ

aby to byla funkcja kwadratowa

a≠0   ⇒  m - 1≠0 ⇒ m≠ 1 ⇒ m ∈R\{1}

obliczamy Δ w celu okreslenia ilosci m zerowych w zaleznosci od m

Δ=b² -4ac

Δ= (2m+4)² -4(m-1)(-6) = 4m² +16m +16 + 24m -24 =4m² +40m-8

sprawdzamy znak delty, wyznaczymy jej m zerowe

Δ=0

4m² +40m-8=0/:4

m² +10m-2=0

Δ₁= 10² -4·1·(-2)= 100+8=108, √Δ=√(36·3)= 6√3

 

m₁=(-b-√Δ)/2a = (-10-6√3)/2 = -5 -3√3

m₂=(-b+√Δ)/2a = (-10+6√3)/2 = -5 +3√3

dla m∈{-5 -3√3, -5 +3√3}   funkcja f ma 1. m zerowe

 

Δ>0   a≠0⇒m≠1

wykres nierownosci 4m² +40m-8>0 w zalaczeniu

dla m∈(-∞, -5 -3√3)u( -5 +3√3,+∞) \{1} funkcja f ma 2. m zerowe

 

Δ<0

wykres nierownosci 4m² +40m-8<0 w zalaczeniu

dla m∈( -5 -3√3, -5 +3√3) funkcja f ma 0. m zerowych

 

jezeli

a=0 ⇒ m=1

funkcja f staje sie funkcja liniowa

 f(x)= 6x - 6   i taka funkcja ma jedno miesce zerowe ( x₀=1)

 

wzor funkcji

g(m)= { 2      dla  m∈(-∞, -5 -3√3)u( -5 +3√3,+∞) \{1}

         {  1      dla m∈{-5 -3√3, -5 +3√3 , 1}

         {  0      dla m∈( -5 -3√3, -5 +3√3)