Question

Czy ciąg (an) jest geometryczny?

Bardzo proszę o CAŁE zadanie 21 :(

Answer 1

Ciag jest geometryczny , gdy iloraz wyrazów
a(n+1) i an jest stały
a]
an=3n²
a(n+1)/an=3(n-1)² /3n²=[ 3n²-6n+1]/ 3n²=
3n²( 1-2/n+1/3n²)/3n²=1-2/n+1/3n²
nie jest geometryczny bo iloraz nie jest stały
b]
an=3^ (n+2)
a(n+1)/an=3^ (n+1+2) /3^(n+2)=
3^(n+3) /3^(n+2)=[ 3^n*3^3] / [ 3^n *3²]=
81/9=3
jest geometryczny , iloraz jest stały, q=3
c]
an=3+2^n
a(n+1)/an=[3+2^(n+1)]/ [3+2^n]=
[3+2^n*2]/[ 3+2^n]=2^n( 3/2^n+1+2/2^n) 2^n(3/2^n+1)=
[3/2^n+1+2/2^n]/( 3/2^n+1)
nie jest , bo iloraz nie jest stały
d]
an=3^n*2^n
a(n+1)/an=[3^(n+1) *2^(n+1)] / [3^n*2^n]=
[3^n*3*2^n*2] /[ 3^n*2^n]=6
jest, bo q=6, iloraz jest stały

Answer 2

Ciąg jest ciągiem geometryczny wtedy, gdy iloraz wyrazu następnego przez poprzedni jest stały
q=(an+1)/an
A
an=3n²
an+1=3(n-1)²=3n²-6n+1
an+1/an=(3n²-6n+1)/ 3n²=1-2/n+1/(3n²)
nie jest geometryczny- iloraz nie jest stały (zależy od n)
a₁=3·1=3
a₂=3·4=12
a₃=3·9=27
¹²/₃=4 ≠ ²⁷/₁₂

B
an=3^(n+2)
an+1=3^ (n+1+2)=3^(n+3)
an+1 /an =3^ (n+3) /3^(n+2)=3^{n+3-(n+2)}=3^{n+3-n-2}=3
jest geometryczny
 iloraz jest stały q=3
C
an=3+2^n
an+1=3+2^(n+1)
an+1 / an={3+2^(n+1)}/(3+2^n)=2^n( 3/2^n+1+2/2^n) 2^n(3/2^n+1)=
[3/2^n+1+2/2^n]/( 3/2^n+1)
nie jest,  iloraz nie jest stały
a₁=3+2=5
a₂=3+4=7
a₃=3+8=11
⁷/₅≠¹¹/₇

D
an=3^n*·2^n=(3·2)^n=6^n
an+1=6^(n+1)
an+1 /an=[6^(n+1) ] / [6^n]=6^(n+1-n)=6=q

jest q=6 iloraz jest stały