Question

1)Przekątna prostokata ma dł.30 cm, a jego pole wynosi 432cm². Znajdź objętość bryły otrzymanej przez obrót tego prostokąta dookoła większego boku.

2) Objętość walca wynosi 54/π cm³. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca wiedząc, że po rozwinięciu jest ona kwadratem.

Answer 1

1)Przekątna prostokata ma dł.30 cm, a jego pole wynosi 432cm². Znajdź objętość bryły otrzymanej przez obrót tego prostokąta dookoła większego boku.
d = 30 cm - przekatna prostokąta
P = 432 cm² - pole prostokąta
a - długość prostokąta
b- szerokość prostokąta

V = ?

1. Obliczam boki prostokata
P = 432 cm²
P = a*b
a*b = 432 cm²
d = 30 cm
d = √(a² + b²)
√(a² + b²) = 30 /()²

mamy układ równań
a*b = 432 cm²
√(a² + b²) = 30 /()²

a*b = 432 cm² /:a
a² + b² = 900

b = 432 : a
a² +(432:a)² =900

b = 432 : a
a² + 432² :a² = 900 /*a²

b = 432 : a
a⁴ +432² =900a²

b = 432 : a
a⁴-900a² + 432² = 0

2) Objętość walca wynosi 54/π cm³. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca wiedząc, że po rozwinięciu jest ona kwadratem.
a⁴-900a² + 432² = 0
a² = t ( wprowadzam dodatkową niewiadomą
t² -900 t + 432² = 0
Δ = (-900)² -4*1*432² = 810.000 - 746.496 = 63.504
√Δ = √63.504 = 252

t₁ =[- (-900) -252] :2*1 = (900 -252) :2 = 648:2 =324
t₂ =[- (-900) +252] :2*1 = (900 +252) :2 = 1152:2 =576

Powracam do poprzedniego oznaczenia
(a₁)² = t₁ = 324
a₁ = √324 = 18 cm

lub
(a₂)² = t₂ = 576
a₂ = √576 = 24 cm

Obliczam b₁= 432 : a₁ = 432 : 18 = 24 cm
lub b₂ = 432 :a₂ = 432 : 24 = 18 cm
Ostatecznie :
a= 18 cm i b= 24 cm lub
a = 24 cm i b = 18 cm
Ponieważ sa to jednakowe wartości dla obu boków więc przyjmuję
a = 24 cm i b = 18 cm

2. Obliczam objętość bryły otrzymanej przez obrót tego prostokąta dookoła większego boku ( a = 24 cm)
a = 24 cm jest wysokością walca
b = 18cm jest promieniem walca
V = Pp*H
V = π*b²*a
V = π*18²*24

V = 77776π cm³

2. Objętość walca wynosi 54/π cm³. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca wiedząc, że po rozwinięciu jest ona kwadratem.

V = 54/π cm³ - objętość walca
H = wysokość walca
2πr = H
2πr - obwód podstawy

Pb = ? - pole powierzchni bocznej
1. Obliczam promień r
V = 54/π cm³
V = Pp*H = πr²*H
πr²*H = 54/π cm³
i H = 2πr
czyli :
πr²*2πr = 54/π cm³
2π²*r³ = 54/π cm³ /*π
2π³*r³ = 54 /:2π³
r³ = 27/π³
r = ∛( 27/π³)
r = 3/π
2. Obliczam wysokość H
H = 2πr = 2*π*3/π = 6 cm

Obliczam pole powierzchni bocznej walca
Pb = 2πr*H
Pb = 2π*(3/π)* 6
Pb = 36 cm²