Question

Ciężka szpula z nawiniętą nicią, do której przyłożono siłę F leży na płaszczyźnie poziomej. W którą stronę i z jakim przyspieszeniem liniowym będzie poruszać się szpula w zależności od kąta między kierunkiem działania siły a płaszczyzną? Zewnętrzny promień to R, wewnętrzny r, moment bezwładności wynosi I, a masa szpuli m.

Poniżej narysowałem prowizorycznie jak rozumiem to zadanie, Fx to oczywiscie FcosALFA. Proszę o wyjaśnienie krok po kroku, będę bardzo wdzięczny za wyjaśnienie.

Answer 1

Na wstępie zasadnicza poprawka co do "rozumienia" sytuacji ;)  -  nić jest nawinięta na małym promieniu r. Tylko wtedy jego podawanie ma sens.

Zacznijmy od wyznaczenia kąta granicznego ϕ , dla którego moment sił względem chwilowej osi obrotu O' jest zerowy.
Z pierwszego rysunku widać, że cosϕ = r/R

Dla takiego kąta α = ϕ przyłożenia siły F szpulka nie będzie miała przyspieszenia liniowego, a = 0 (będzie się ślizgać obracając się w miejscu).

Przy kącie α < ϕ  szpulka będzie toczyć się w stronę ciągnięcia, równocześnie nawijając nitkę.

Przy kącie α > ϕ  szpulka będzie toczyć się w stronę przeciwną do ciągnięcia, równocześnie odwijając nitkę.

Przyspieszenie liniowe wyznaczamy z równań II zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego:
m·a = F·cosα - T   --->   T = F·cosα - m·a     ,  Io·ε = T·R - F·r    ,    ε = a/R

Io·a/R = (F·cosα - m·a)·R - F·r
Io·a = F·R²·cosα - m·a·R² - F·r·R
a·(Io + m·R²) = F·R²·(cosα - r/R)
a = F·R²·(cosα - r/R) / (Io + m·R²)

Przy okazji, w tym wzorze na przyspieszenie  również widać, dla cosα = r/R  mamy kąt graniczny (ϕ) , przy którym przyspieszenie zmienia znak.

Wartość przyspieszenia dla przeciwnego kierunku (przy α > ϕ) :
a = F·R²·(r/R - cosα) / (Io + m·R²)

Dodatkowo można to zadanie rozwiązać również przy rozważaniu obrotu względem chwilowej osi obrotu O'. Wtedy tylko siła F daje moment obrotowy na ramieniu r' (patrz drugi rysunek).