Ciąglość funkcji w punkcie - wytłumaczenie(krótkie - abym zrozumiał) + zadania.... Question from @FHA

December 2018 1 85 Report

Ciąglość funkcji w punkcie - wytłumaczenie(krótkie - abym zrozumiał)
+ zadania

Paawełek Liczysz granice dwustronne (+ i -) - czyli z lewej strony punktu x0 i z prawej strony punktu x0. Jeśli są one sobie równe to funkcja jest ciągła.
W 1. załączniku w e) mmasz:
$\lim\limits_{x\to -3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to -3}(2x^2-2x-24) = 2 \cdot (-3)^2 - 2 \cdot (-3)-24=\\ = 18+6-24=0 \\ \\ \lim\limits_{x\to -3^+}f(x)=\lim\limits_{x\to -3}(3x^2+10x+3)=3 \cdot (-3)^2+10 \cdot (-3)+3=\\ =27-30+3=0$
GRanice są równe, więc funkcja jest ciągła w tym punkcie.

Kolejne e)
Należy punkt (0,2) zatem granica funkcji górnej musi być obustronna i wynosić 2, aby było to ciągłe. Więc liczymy:
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{9+12x^2}-3}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{(\sqrt{9+12x^2}-3)(\sqrt{9+12x^2}+3)}{x^2(\sqrt{9+12x^2}+3)}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{9+12x^2-9}{x^2(\sqrt{9+12x^2}+3)}= \\ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{12x^2}{x^2(\sqrt{9+12x^2}+3)}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{12}{\sqrt{9+12x^2}+3}=\frac{12}{\sqrt{9}+3}=\frac{12}{3+3}=\frac{12}{6}=2$
Zatem funkcja również jest ciągła w danym punkcie.

2.48
Sprawiam pierw by była ciągła w punkcie x=5:
$\lim\limits_{x\to 5^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 5}(2x-3)=5 \cdot 2-3=7 \\ \hbox{By byla ciagla to:} \\ \lim\limits_{x\to 5^-}=\lim\limits_{x\to 5} b=7 \\ \hbox{Skad od razu} \ \ b=7$
Teraz sprawiam by była ciągła w punkcie x=-2:
$\lim\limits_{x\to -2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to -2} 7=7 \\ \lim\limits_{x\to -2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to -2}(x^2+ax)=7 \\ \hbox{Skad:} \\ (-2)^2 +a \cdot (-2)=7 \\ 4-2a=7 \\ -2a=3 \qquad /:(-2) \\ a=-\frac{3}{2}$

W 2.49 robimy to samo. Sprawiam by była ciągła w punkcie -3:
$\lim\limits_{x\to -3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to -3}(3x+1)=3 \cdot (-3)+1=-8\\ \lim\limits_{x\to -3^+}f(x)=\lim\limits_{x\to -3}(ax+b)=-8 \\ \hbox{Skad:} \\ -3a+b=-8 \\ \hbox{Skad:} \\ \boxed{b=3a-8}$
Sprawiam by była ciągła w punkcie 5:
$\lim\limits_{x\to 5^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 5}(-6x+6)=-6 \cdot 5+6=-24 \\ \lim\limits_{x\to 5^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 5}(ax+b)=-24 \\ \hbox{Skad:} \\ 5a+b=-24 \\ \boxed{b=-5a-24}$

"b" mają być równe zatem:
3a-8 = -5a - 24
8a = -16 /:8
a=-2

Oraz:
b=3a-8= 3 * (-2) - 8 = -6-8
b=-14

2 votes Thanks 1