Question

Ciąg (an) okreslony jest wzorem an= -2n+5
Uzasadnij ze ciag jest ciagiem arytmetycznym.Suma ilu poczatkowych wyrazow ciagu jest rowna -140 ?

Answer 1

A(n)=-2n+5

Aby pokazać, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym należy zbadać różnicę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu-musi być ona stała.

a(n+1)-a(n)=-2(n+1)+5-(-2n+5)=-2n-2+5+2n-5=-2

zatem faktycznie jest to ciąg arytmetyczny, którego różnica r=-2

wzór na sumę k wyrazów ciągu arytmetycznego ma postać:
a(1)+...+a(k)=(a(1)+a(k))*k/2
Mamy więc równanie (a(1)+a(k))*k/2=-140 i szukamy k wiedząc ze wzoru, że
a(1)=-2+5=3
a(k)=-2k+5

(3-2k+5)*k=-280
(-2k+8)*k=-280
-2k²+8k+280=0 /:(-2)
k²-4k-140=0
delta=16+4*140=16+560=576 √delta=24
k=(4-24)/2=-10 lub k=(4+24)/2=14 i oczywiście k>0 jako liczba wyrazów ciągu, zatem wybieramy k=14
Odp: Suma 14 początkowych wyrazów ciągu jest równa -140