Question

'ciekawostki o liczbach'

muszę zrobić na ten temat prezentacje, z matematyki.
Podajcie przykłady, ale musi być iich duzo - w innym przypadku bede raportować :))

Answer 1

1. Liczby bardzo małe - "liliputy"
Masa cząsteczki wody - 0,000 000 000 000 000 000 000 00003 kg
Masa protonu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg
Masa elekronu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 95 kg

2. Liczby pierwsze
Liczba pierwsza, to liczba naturalna p>1, której jedynymi dzielnikami są: liczba 1 oraz p. Liczby 1 nie zalicza się do liczb pierwszych.
Kolejnymi liczbami pierwszymi są:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131,
137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,
227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263,
269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311,
313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359,
367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457,
461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503,
509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569,
571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613,
617, 619, 631, 641, 643, 647, 643, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719,
727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769,
773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827,
829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881,
883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941,
947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, ...
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides. W III w. p.n.e. grecki matematyk Eratostenes z Cyreny podał metodę wyznaczania liczb pierwszych zwaną Sitem Eratostenesa. Dzięki tej metodzie możemy sporządzić tablicę kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie pozostałe liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze. Z liczb pozostałych po tym wykreślaniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały i poprzednio wykreślone. Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba 5; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone, pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n.
Ciekawostki:

Największa znana obecnie liczba pierwsza jest ogromna - ma ona 2 098 960 cyfr. Gdyby zapisać cyfry tej liczby jedna za drugą na pasku papieru, to miałby on długość ponad 4 km.

Są liczby pierwsze złożone z samych jedynek , np.23-cyfrowa 11111111111111111111111.

Są i złożone z kolejnych cyfr, np. liczbą pierwszą jest każda z liczb: 23, 67, 89, 4567, 56789, 456789, 23456789, 1234567891,1234567891234567891234567891.

liczba zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego PI jest pierwsza: 31415926535897932384626433832795028841.

Ciekawymi liczbami pierwszymi są też: 188888881, 199999991, 722222227, 111181111, 111191111, 777767777, 123484321, 987646789, 727272727, 919191919, 72020207.

3. Liczby złożone
Liczby złożone, liczby naturalne n>1, które mają więcej niż dwa dzielniki. Nie są liczbami pierwszymi. Każda liczba złożona jest iloczynem liczb pierwszych, przy czym rozkład na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, tj. dwa rozkłady mogą różnić się jedynie kolejnością czynników.

4. Liczby bliźniacze

Liczby bliźniacze, dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Przykładami par liczb bliźniaczych są: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.
Ciekawostki:
Jedną z największych znanych par liczb bliźniaczych jest para:
260497545*26652-1; 260497545*26652+1
Liczby bliźniacze to para:
15873328288184191627449101292332801749236259319203520296443150620291 i 15873328288184191627449101292332801749236259319203520296443150620293

5. Liczby zaprzyjaźnione

Liczby zaprzyjaźnione, liczby naturalne m i n spełniające następujący warunek: suma wszystkich mniejszych od m dzielników naturalnych liczby m równa jest n i jednocześnie suma wszystkich mniejszych od n dzielników naturalnych liczby n równa jest m. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Parą najmniejszych różnych liczb zaprzyjaźnionych jest para (220, 284).

Dzielniki właściwe liczby 220 to:

D220={1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284

Dzielniki właściwe liczby 284 to:

D284={1,2,4,71,142}
1+ 2+ 4+ 71+ 142 = 220

Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para (1184, 1210). Znanych jest blisko 8 tysięcy par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele. Nie jest też znana żadna para liczb zaprzyjaźnionych w której występowałyby liczby różnej parzystości. Liczby zaprzyjaźnione były znane już w szkole Pitagorasa (VI w. p.n.e.), przypisywano im znaczenie mistyczne.

6. Liczby doskonałe

Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Liczby doskonałe zostały wynalezione przez pitagorejczyków. To oni podali pierwsze cztery kolejne liczby doskonałe: 6, 28, 496, 8128 (np. 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych. Nie wiadomo również, czy istnieje choć jedna liczba doskonała nieparzysta. Zagadnieniem liczb doskonałych zajmował się Euklides (IV w. p.n.e.). Podał on regułę odnajdowania parzystych liczb doskonałych:

N=2k-1(2k-1),


gdzie (2k-1) musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego). Poniższa tabela ilustruje znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły:

7. Liczba złota - wyraża długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału, tj. takiego odcinka AB zawartego w odcinku jednostkowym AC, że stosunek AB:AC jest równy stosunkowi CB:AB.

Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.

Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

8. Magiczna liczba zero

"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie"

- powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker.
Liczby naturalne (czyli: 1, 2, 3, 4,... itd.) znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również 0.

Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. Żmudną i niełatwą pracę stanowiło wykonywanie działań. Podobnie było przy użyciu rzymskiego systemu zapisu liczb. Jeśli ktoś ma wątpliwości, niech pomnoży przez siebie dwie liczby: CCCLX i DXXIII - ale bez tłumaczenia na układ dziesiętny. Zero wprowadzono, wraz z liczbami ujemnymi, w Indiach (VI-VIII wiek n. e., choć podobno Chińczycy znali je wcześniej). Hindusi rozpowszechnili też system pozycyjny zapisywania liczb, choć przypuszcza się, że początkowo korzystali jedynie z dziewięciu cyfr odpowiadających naszym cyfrom od 1 do 9, zera zaś zaczęli używać znacznie później; nazywali je sunya, co miało znaczyć "pusty" lub "próżny". Dziesiętny system pozycyjny wraz z zerem przejęli od Hindusów Arabowie. Zwrot "pusty" przetłumaczyli mniej więcej na as-sifr, co z kolei przełożono na łacinę jako zephyrum. Od tego wyrazu wywodzi się słowo "zero", a także "cyfra".

Bardzo długo jednak zera nie traktowano jako liczby równouprawnionej z innymi. Zero oznaczało "nic", a "nic" nie może przecież być liczbą. Służyło ono do zapełniania dziur i pustych miejsc, co często prowadziło do nieporozumień, pomyłek i nadużyć. Jeszcze w XV wieku zero traktowano z dużą rezerwą. Na przykład równanie

x2-3x=0

przy użyciu ówczesnej symboliki zapisywano w wersji

x2=3x,
gdyż 0, jako nic nie oznaczające, nie powinno występować w równaniu. Systematycznie pomijano też rozwiązania zerowe. Opór związany ze stosowaniem zera został przełamany w XVI
i XVII wieku, gdy rozwinęły się techniki rachunkowe istotnie wykorzystujące system pozycyjny.

9. Magiczna liczba 7

W starożytności niektórym liczbom przypisywano moc magiczną. Ów mistycyzm liczbowy został zapoczątkowany przez Pitagorasa i jego uczniów. Za ich pośrednictwem rozpowszechnił się po całej Grecji i w szczątkowej postaci przetrwał aż do naszych czasów. Stąd na przykład mamy feralną trzynastkę. Jednak największą moc magiczną przypisywano w starożytności liczbie 7. Wiele faktów historycznych i kulturalnych, wiele dzieł rąk ludzkich powiązano z siódemką. Oto niektóre z nich:
Siedem cudów świata starożytnego.
Siedmiu mędrców starożytności.
Siedem kryształowych sfer.
Siedem dni w tygodniu.
Siedem tonów gamy.
Siedem krów tłustych i siedem krów chudych.
Siedem sztuk wyzwolonych: artes liberales.
Za siedmioma górami, za siedmioma lasami ...
Siedem pięknych dziewcząt i siedmiu chłopców ateńskich składanych rok rocznie na pożarcie Minotaurowi, potworowi w postaci byka, pół człowieka, którego król Minos jego ojciec zamknął w labiryncie na wyspie Krecie, żeby nie mógł wydostać się stamtąd.
W starej polszczyźnie siódemka otoczona była nimbem tajemniczości. Świadczy o tym chociażby "Kronika polska, litewska, żmudzka i wszystkiej Rusi", w której jest między innymi zapis: " ...Wziął Jagiełło księciu opolskiemu za 7 dni 7 zamków, ale pod zamkiem Bolesławem 7 lat leżeli Polacy, aż im się poddał ..."

10. Liczba 13

Wielki kompozytor niemiecki Richard Wagner w imieniu i nazwisku ma łącznie 13 liter. Urodził się w roku 1813. Suma cyfr liczby 1813 wynosi 13. Skomponował 13 wielkich utworów., z których największy "Tannhauser" ukończył 13 kwietnia 1845 roku, a którego pierwsze wykonanie odbyło się dopiero w 1861, 13 marca. Inną operę, "Parsifal", ukończył 13 stycznia 1882 roku. "Lohengrin" powstał w 1848 roku, ale kompozytor usłyszał i zobaczył go po raz pierwszy na scenie dopiero w 13 lat później. Zmarł 13 lutego 1883 roku.
Triskaidekafobia - lęk przed liczbą 13.

11. Liczba 666

Znaczenie liczby 666 można znaleźć w Biblii (Objawienie św. Jana, XIII, 18)
W trzecim tomie "Wojny i pokoju" Tołstoj opisuje, jak z wyrażenia "L`Empereur Napoléon" można otrzymać liczbę 666.
W czasach reformacji zauważono, że gdy w tytule papieskim VICARIVS FILII DEI dodamy te litery, które mają znaczenie cyfr rzymskich, to otrzymamy : V+I+C+I+V+I+L+I+I+D+I=666.
Jeżeli zrobimy tak samo z nazwiskiem założyciela sekty Adwentystów Dnia Siódmego, otrzymamy, traktując W jako podwójne V (rev. = reverent, tj. wielebny): REV. ELLEN GOULD WHITE = 666.
Można też zauwazyć, że 666 jest sumą pierwszych sześciu cyfr rzymskich: D+C+L+X+V+I = 666.
666 odkrywano w nazwiskach wielu polityków XIX i XX wieku, między innymi: Gladstone`a, Bicmrcka, d`Estainga.
Liczba 666 jest sumą wszystkich liczb ruletki: 1+2+3+...+35+36. I jak tu nie wierzyć w magię liczb?

12. Liczby rzymskie

System rzymski nie jest systemem pozycyjnym.

System ten jest pochodzenia etruskiego (ok. 500 r. p.n.e.).Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,..... W okresie rozkwitu cesarstwa powstał system, który (po pewnych modyfikacjach znacznie późniejszych) dzisiaj znamy jako system rzymski. Stosujemy w nim następujące znaki:

I = 1

V = 5

X = 10

C = 100

D = 500

M = 1000

Kilkakrotnie napisany ten sam znak oznacza wielokrotność liczby wyrażonej tym znakiem.

Znak I po lewej stronie znaku V lub X oznacza odejmowanie: IV = 4, IX = 9,

Podobnie znak X po lewej stronie L lub C oraz znak C po lewej stronie D lub M oznacza liczbę odpowiednio dziesiątek lub setek o jeden mniejszą:

XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.

W systemie rzymskim zapisujemy liczby od lewej strony do prawej poczynając od znaków liczb o największej wartości.

MCMXCIV = M+CM+XC+IV = 1000+900+90+4 = 1994,

DCLXXXVIII = D + C + L + X + X + X + X + V + I + I + I

= 500+100 + 50 + 10 +10 + 10 + 50 + 5 + 1 +1 + 1 = 688

ML = M + L =1000 + 50 = 1050.

Rzymianie potrafili dość sprawnie wykonywać działania dodawania i odejmowania posługując się przy tym abakusem - pierwszą w świecie "maszyną do liczenia" (wspomina o tym Herodot - V w.p.n.e. ).

Chyba styknie :)