Question

Prosze o razwizanie chociaz kilku zadan z tego:

http://www.maximus.pl/bw-matematyka_2010__przykladowy_arkusz_egzaminacyjny_22c_poziom_p-1137,2.html

zadania nr:
25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33

Answer 1

Zad. 25
Dany zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
|Ω| = 8
A - wylosowanie liczby podzielnej przez 3
A = {3, 6}
|A| = 2
Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3.
p = |A| : |Ω|
p = ²/₈ = ¼ = 0,25 < 0,3
czyli odp. A

Zad. 26
Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = (-1)^n * (2 - n / n²) .
a₂ = (-1)² * (2 - 2 / 2²) = 1 * (0 / 4) = 1 * 0 = 0
a₅ = (-1)⁵ * (2 - 5 / 5²) = -1 * (-3 / 25) = ³/₂₅ = 0,12

Odp.: a₂ = 0 i a₅ = 0,12

Zad. 27
x³ - 12x² + x - 12 = 0
x²(x - 12) + 1(x - 12) = 0
(x - 12)(x² + 1) = 0
Drugi nawias jest zawsze dodatni, stąd
x - 12 = 0
x = 12

Odp. x = 12

Zad. 28
Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB || CD. Udowodnij, że |<AED| = |<BAE| + |<CDE|
patrz załącznik
<DAE = α
<EDA = β
stąd z ΔAED mamy
α + β + |<AED| = 180°
|<AED| = 180° - α - β

Na podstawie własności "Suma kątów przylegających do jednego ramienia trapezu jest równa 180°" mamy:
|<A| + |<D| = 180°
|<BAE| + α + β + |<EDC| = 180°
|<BAE| + |<BAE| = 180°- α - β

Widać, że
|<AED| = |<BAE| + |<BAE| = 180° - α - β
co należało dowieść

Zad. 29
Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających nierówność: ⁴/₉ < a/b < ⁵/₉

⁴/₉ < a/b < ⁵/₉
⁸/₁₈ < ⁹/₁₈ < ¹⁰/₁₈
czyli
a/b = ⁹/₁₈ = ½ = ²/₄ ...
stąd
a = 9 i b = 18
lub
a = 1 i b = 2
lub
a = 2 i b = 4

Odp. np. a = 1, b = 2

Zad. 30
Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d.

a, b - długość pierwszego prostokąta
c, d - długość drugiego prostokąta
P₁ - pole pierwszego prostokąta
P₂ - pole drugiego prostokąta

c = 90% * a = 0,9a
d = 120% * b = 1,2b

P₁ = a*b
P₂ = c * d = 0,9a * 1,2b = 1,08*a*b = 1,08*P₁ = 1,08*100%*P₁ = 108%*P₁

Odp. Pole prostokąta o bokach c i d stanowi 108 % pola prostokąta o bokach a i b.

Zad. 31
s - połowa drogi z miasta A do miasta B
V₁ - prędkość pierwszego pociągu
t₁ - czas w jakim pierwszy pociąg przejechał połowę drogi
V₂ - prędkość drugiego pociągu
t₂ - czas w jakim drugi pociąg przejechał połowę drogi
V = s/t
V*t = s

s = ½ * 540 km = 270 km

V₁*t₁ = s
V₁*t₁ = 270

V₂ = V₁ + 9
t₂ = t₁ - 1
V₂*t₂ = s
(V₁ + 9)(t₁ - 1) = 270
V₁*t₁ - V₁ + 9t₁ - 9 = 270
270 - V₁ + 9t₁ - 9 = 270
- V₁ + 9t₁ - 9 = 270 - 270
- V₁ + 9t₁ - 9 = 0
- V₁ = - 9t₁ + 9 /*(- 1)
V₁ = 9t₁ - 9
Wstawiamy to do wyrażenia: V₁*t₁ = 270 i otrzymujemy
(9t₁ - 9)*t₁ = 270
9t₁² - 9t₁ = 270
9t₁² - 9t₁ - 270 = 0 /:9
t₁² - t₁ - 30 = 0
∆ = 1 + 120 = 121
t₁ = 1 – 11/ 2 = - 10/2 = - 5
lub
t₁ = 1 + 11 / 2 = 12 / 2 = 6

V₁ = 9t₁ - 9
V₁ = 9*6 - 9 = 54 - 9 = 45 km/h

V₂ = V₁ + 9
V₂ = 45 + 9 = 54 km/h

Odpowiedź: Pociągi jechały z prędkością 45 km/h oraz 54 km/h

Zad. 32
Zdarzenia elementarne to pary wylosowanych kul, czyli
|Ω| = C¹₉ * C¹₉ = 9 * 6 = 54

Dwie kule białe możemy wylosować na C¹₄ * C¹₂ = 4 * 2 = 8 sposobów
Dwie czarne na C¹₃ * C¹₃ = 3 * 3 = 9 sposobów
Dwie zielone na C¹₂ * C¹₁ = 2 * 1 sposobów
A - wylosowanie dwóch kul tego samego koloru
|A| = 8 + 9 + 2 = 19 zdarzeń sprzyjających
P - prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru losując po jednej kuli z każdego pojemnika
P(A) = |A| / |Ω|
P(A) = ¹⁹/₅₄

Odp. Prawdopodobieństwo wynosi ¹⁹/₅₄

Zad. 33
Ostrosłup ABCDS - ostrosłup prawidłowy czworokątny
patrz załącznik
a - długość krawędzi podstawy ostrosłupa
d - długość przekątnej podstawy ostrosłupa
H – wysokość ostrosłupa
α – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
Pp – pole podstawy
V – objętość ostrosłupa

H = 8
α = 40°

d = a√2
|AE| = ½ * d = ½ * a√2 = a√2 / 2

Z trójkąta prostokątnego AES mamy:
|AE| / |SE| = ctg 40° /*|SE|
|AE| = |SE| * ctg 40°
a√2 / 2 = H * ctg 40° /: a√2 / 2
a = 8 * ctg 40° * 2/√2
a = 8 * ctg 40° * 2√2 / √2*√2
a = 8 * ctg 40° * 2√2 / 2
a = 8 * ctg 40° * √2
a = 8√2ctg 40°

P = a²
P = (8√2ctg 40°)² = 64 * 2 * ctg² 40 = 128 * ctg² 40°

V = ⅓ * Pp * H
V = ⅓ * 128 * ctg² 40° * 8 = ¹⁰²⁴/₃ * ctg² 40° ≈ 484,8

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 1024/3 * ctg² 40° ≈ 484,8