Question

Bok trójkąta ma długość 1, a kąty do niego przyległe mają miary 30 stopni i 120 stopni . Trójkąt ten obraca się dookoła prostej prostopadłej do boku o danej długości i przechodzącej przez przeciwległy wierzchołek. Oblicz objętość i pole powierzchni powstałej bryły.

Answer 1

Niech ABC będzie tym trójkątem.

Mamy

AB = 1

I Kąt A I = 30 st  oraz I Kąt B I = 120 st, zatem I kąt C I = 30 st

czyli trójkąt ABC jest równoramienny , a zatem AB + BC = 1

h - wysokość z wierzchołka C na bok AB

Mamy

h/BC = h/ 1 = sin 60 st --> h = p(3)/2

D  punkt na prostej AB taki,ze CD = h

BD / BC = BD/1 = cos 60 st ---> BD = 1/2

r1 = AB + BD = 1,5 = 3/2

r2 = BD = 1/2

h = CD = p(3)/2

Objętość powstałej bryły obrotowej

V = V1 - V2 = pi*(r1)^2 *h   -  pi*(r2)^2*h

V = [ (r1)^2 - (r2)^2]*pi*h = [(3/2)^2 - (1/2)^2]* pi *p(3)/2

V = [9/4 - 1/4]*pi *p(3)/2 = [8/4]*pi*p(3)/2 = pi*p(3)

V = pi *p(3)

==========

I AC I^2 = I AD I^2 + I CD I ^2

I AC I ^2 = (3/2)^2 + [ p(3)/2]^2 = 9/4  + 3/4 = 12/4 = 3

zatem

I AC I = p(3)

--------------

Pole powierzchni tej bryły

Pp  - pole podstawy

Pp = pi*(r1)^2 - pi*(r2)^2 = pi*[(3/2)^2 - (1/2)^2]

Pp = pi*[9/4 - 1/4] = pi*2 = 2 pi

-----------------------------------------

Pb1 = pi *r1*l1;  gdzie l1 = AC = p(3)

Pb1 = pi*(3/2)*p(3) = (3/2)*pi*p(3)

--------------------------------------------

Pb2 = pi*r2*l2; gdzie l2 = BC = 1

Pb2 = pi *(1/2)*1 = (`1/2)(pi

-------------------------------------

zatem

Pc = Pp + Pb1 + Pb2 = 2 pi + (3/2)*pi*p(3) + (1/2)*pi

Pc = [2 + (3/2)p(3) + (1/2)]*pi

Pc = [2,5 + 1,5 p(3)]*pi

==========================