Question

Wykaż że dla dowolnych a∈R+ i b∈R+ zachodzi nierówność:

2
_________ <= (wieksze lub rowne) √a*b
1/a + 1/b

(czyli 2 dzielone na 1/a + 1/b jest mniejsze lub rowne pierwiastkowy z a*b)

Answer 1

2/[(1/a)+(1/b)]≤√(ab)
2/[(b/(ab)) + (a/(ab) ]≤√(ab)
2/[( a + b) / (ab) ]≤√(ab)
(2/1)*[ (ab)/(a+b)]≤√(ab)
(2ab)/(a+b)≤√(ab) /()²
(2ab)²/(a+b)²≤ ab / *(a+b)²
Skoro (a+b)² jest zawsze większe od zera więc mogę obustronnie przez to pomnożyć i znak nierówności mi się nie zmieni wtedy
(2ab)²≤ (ab) (a+b)²
4a²b² ≤ ab (a²+2ab+b²)
4a²b²≤ a³b+2a²b²+ab³
4a²b² - a³b - 2a²b² - ab³ ≤0
2a²b² -a³b - ab³ ≤ 0
ab(-a²+2ab-b²)≤0
(ab)*(-1)*(a²-2ab+b²)≤0 /:(-1)
(ab)(a²-2ab+b²) ≥ 0
(ab)(a-b)² ≥ 0

Dla jakichkolwiek a i b wyrażenie (a-b)² ≥ 0 bo jest to kwadrat liczby, natomiast jeśli a∈R+ i b∈R+ to ich iloczyn ab tez na pewno jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Zatem zdanie to jest prawdziwe.