AYUDAAAA Los lados de un triángulo escaleno miden 6, 7 y 11. Calcular la altura del triángulo si se .... Question from @maaate

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AYUDAAAA Los lados de un triángulo escaleno miden 6, 7 y 11. Calcular la altura del triángulo si se toma el lado más chico como la base. El radicando es:

Tony90 Hola, espero que mi solución te ayude:

IMAGEN 1.- Graficamos el triángulo ACD de lados 6,7 y 11 y notamos que es obtusangulo. Y graficamos la altura h (AB), tomando como base el menor lado osea el 6.(IMAGEN 1)

IMAGEN 2.- Trazamos el segmento DE tal que este segmento sea perpendicular a BC, tal como lo indicamos en la IMAGEN 2. Notamos que como AB y DE son perpendiculares a BC, el angulo A es igual al angulo E (β). El angulo C lo representaremos por α. El segmento EC los representamos por x.

IMAGEN 3.- Nos damos cuenta que el triangulo ABC es semejante al triangulo ECD (porque sus angulos son iguales), por lo que sus lados son proporcionales(el segmento AC es igual a xk y BC es 6k. Por lo que BD es 6k-6(IMAGEN 3).

Ahora usamos el teorema de Pitagoras para hallar ''h'':
En el triangulo ABC:
h^{2} + (6k)^{2} = (xk)^{2}
h^{2} = x^{2}k^{2} - 36(k^{2})
Factorizamos:
h^{2} = (x^{2} - 36)(k^{2})
Sacamos raiz cuadrada:
$h = (\sqrt{ x^{2} - 36 }) (k)$

Ahora en el triangulo ABD:
$h^{2} + (6k-6)^{2} = 7^{2}$
$h^{2} +36 k^{2} - 72k +36 = 49$
$h^{2} = 49 - 36 k^{2} + 72k - 36$
$h^{2} = - 36 k^{2} + 72k + 13$
$h = \sqrt{- 36 k^{2} + 72k + 13}$

Igualamos los dos valores de ''h'' que hemos obtenido:

$\sqrt{ x^{2} - 36 } (k) = \sqrt{ - 36 k^{2} + 72k + 13 }$

Elevamos al cuadrado:
$(\sqrt{ x^{2} - 36 } (k) )^{2} = (\sqrt{ - 36 k^{2} + 72k + 13 } )^{2}$
$(x^{2} - 36) (k)^{2} = - 36 k^{2} + 72k + 13$
$(x^{2} - 36) (k)^{2} + 36 k^{2} = 72k + 13$
$(x^{2} - 36 + 36) (k)^{2} = 72k + 13$
$(x^{2}) (k)^{2} = 72k + 13$

Pero en el segmento AC: xk=11 , entonces k=11/x
Reemplazamos:
$(x^{2}) ( \frac{11}{x} )^{2} = 72 (\frac{11}{x} ) + 13$
$121 = 72 (\frac{11}{x} ) + 13$
$121 - 13= 72 (\frac{11}{x} )$
$108 = 72 (\frac{11}{x})$
$x = 72 (\frac{11}{108})$
$x = \frac{22}{3}$

Entonces: k = 11/x , k = 11*3/22 , k = 3/2

Entonces, el segmento BC: 6k = 6(3/2) = 9

Ahora aplicamos el teorema de Pitagoras para todo el triangulo ABC:

$h^{2} + 9^{2} = 11^{2}$
$[tex]h^{2} = 121 - 81$
$h^{2} = 40$
$h = \sqrt{40}$

Si te piden el radicando de la respuesta seria 40.