Ayuda con integrales! El resultado es -cot(4x) + C.... Question from @grexychida

October 2018 1 47 Report

Ayuda con integrales!

$\int\ {(tan2x + cot2x)^2} \, dx$

El resultado es -cot(4x) + C

seeker17 Tienes,

$\displaystyle\int{(\tan(2x)+\cot(2x))^{2} } dx$

podemos primer hacer una sustitución,

$u=2x \\ du=2dx \\ dx=\displaystyle \frac{du}{2}$

entonces,

$\displaystyle\int{(\tan(u)+\cot(u))^{2} } \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int{(\tan(u)+\cot(u))^{2} } du$

pero sabemos que
$\displaystyle \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ \cot(x)= \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

entonces,

$\displaystyle\frac{1}{2}\int{\left( \frac{\sin(u)}{\cos(u)}+ \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \right)^{2} } du=\frac{1}{2}\int {\left( \frac{\sin^{2}(u)+\cos^{2}(u) }{\sin(u)\cos(u)}\right)^{2} } du$

pero sabemos que

$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x) =1$

entonces,

$\displaystyle\frac{1}{2}\int{ \left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)^{2} } du=\frac{1}{2}\int{ \left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)\left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right) } du$

ahora podemos multiplicar por un número inteligentísimo, si multiplicamos a cualquier cosa por uno, no cambie ¿verdad?, y estás de acuerdo que $\displaystyle \frac{4}{4} =1$ entonces si multiplico por éste valor no pasa nada, bien,

$\displaystyle \frac{1}{2} \int{ \frac{4}{4} \left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)\left(\frac{1}{\sin(u)\cos(u)}\right)} =... \\ \\ \frac{4}{2} \int{ \left(\frac{1}{2\sin(u)\cos(u)}\right)\left(\frac{1}{2\sin(u)\cos(u)}\right)}$

pero sabemos que,

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

entonces,

$\displaystyle2\int{\left(\frac{1}{\sin(2u) }\right)\left(\frac{1}{\sin(2u) }\right)}du$

pero sabemos que,

$\displaystyle \frac{1}{\sin(x)} =\cos(x)$

equis puede ser cualquier ángulo por supuesto, entonces

$2\displaystyle\int{\csc(2u)\csc(2u)} du=2\int{\csc^{2} (2u)} du$

ahora podemos hacer una sustitución,,

$w=2u \\ dw=2du \\ du\displaystyle= \frac{dw}{2}$

entonces,

$\displaystyle2\int{\csc^{2}(w) } \frac{dw}{2} =\int{\csc^{2}(w)} dw$

y esa ya es una integral directa, que es justamente la solución que tienes tu

$\displaystyle\int{\csc^{2}(w)} dw=-\cot(w)+C$

ahora solo te queda volver a la variable original...

te recomiendo que desmuestres esa integral directa no es muy complicada¡...demuestrale y ahí si te puedes dar gusto de poner el resultado directo

s

2 votes Thanks 1

Ayuda con integración por partes! Como resuelvo este ejercicio mediante la integración por partes? Anexo foto

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grexychida November 2018 | 0 Replies

Ayuda con integrales por sustitución trigonometrica! Anexo ejercicio El método para resolverlo debe ser el de sustitución trigonometrica URGENTE POR FAVOR

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grexychida November 2018 | 0 Replies

Quiero saber a cuanto equivale el angulo de -60°, o sacar la tangente inversa de - √ 3 , es decir, quiero que me digan si vale 120° o 300°, estoy en una gran duda, y en qué cuadrante está ese -60°

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grexychida October 2018 | 0 Replies

Ayuda!!! Pasar ecuación en forma rectangular, a su forma polar, anexo foto del ejercicio. El resultado debe ser r = +- csc 4 Θ

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grexychida October 2018 | 0 Replies

AYUDA! Pasar esta ecuación en forma polar, a su forma rectangular. Anexo foto del ejercicio: r = 2 sec^2 teta/2

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grexychida September 2018 | 0 Replies

Hallar la ecuación de la recta en su forma general, dados los puntos (-8,6) y (5,4) ayuda por favor :), anexo la foto de la grafica y del resultado que esta en rojo, quisiera el procedimiento, por favor. Gracias

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Ayuda!!! Pasar ecuación en forma rectangular, a su forma polar, anexo foto del ejercicio. El resultado debe ser r = +- csc 4 Θ

AYUDA! Pasar esta ecuación en forma polar, a su forma rectangular. Anexo foto del ejercicio: r = 2 sec^2 teta/2

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