Ayuda con este ejercicio por favor. Si la derivada direccional de F: R² --> R en (2,3) es 2 en la di.... Question from @fernandomrb

November 2018 1 12 Report

Ayuda con este ejercicio por favor.
Si la derivada direccional de F: R² --> R en (2,3) es 2 en la dirección que forma un angulo de 30° con el eje x positivo y 8 cuando este angulo es 150°. Determine cual es la derivada direccional de F en (2,3) en la dirección tangente a la curva definida por: G(x,y) = 2xy-3y² = 1 en (2,1)

CarlosMath La derivada direccional de F en dirección del vector unitario $\vec u$ se calcula así

$D_{\vec u}F=\nabla F\cdot \vec u$

1) $\vec u_1 = (\cos 30\°,\sin30\°)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

$D_{\vec u_1}F=\nabla F\cdot \vec u_1\\ \\
D_{\vec u_1}F=(F_x,F_y)\cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ \\
D_{\vec u_1}F=\dfrac{\sqrt{3}F_x}{2}+\dfrac{F_y}{2}\\ \\ \\
D_{\vec u_1}F(2,3)=\dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}\\ \\ \\
\dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}=2\\ \\
\sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=4~~~~\cdots\cdots\cdots\textcircled{1}
$

2) $\vec u_2=(\cos 150,\sin 150)=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{1}{2}\right)
$

$D_{\vec u_2}F=\nabla F\cdot \vec u_2\\ \\
D_{\vec u_2}F=(F_x,F_y)\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ \\
D_{\vec u_2}F=-\dfrac{\sqrt{3}F_x}{2}+\dfrac{F_y}{2}\\ \\ \\
D_{\vec u_2}F(2,3)=-\dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}\\ \\ \\
-\dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}=8\\ \\
-\sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=16~~~~\cdots\cdots\cdots\textcircled{2}
$

(3) resolviendo el sistema

$\begin{cases}
\sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=4\\
-\sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=16
\end{cases}\\ \\ \\
F_x(2,3)=-2\sqrt{3}\\ 
F_y(2,3)=10\\ \\
\boxed{\nabla F(2,3)=\left(-2\sqrt{3},10\right)}$

(4) Hallemos el vector tangente a la curva generada por G

$\vec v =\nabla G \\ \\
\vec v =(G_x,G_y)\\ \\
\vec v = (2y,2x-6y)\\ \\
\text{En el punto }(2,1)\text{ tenemos}\\ \\
\vec v=(2,-2)\\ \\
\text{Ahora el vector unitario de }\vec v\\ \\
\vec u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(5) Nos piden calcular $D_{\vec u}F(2,3)=\nabla F(2,3)\cdot \vec u$

$D_{\vec u}F(2,3)=\left(-2\sqrt{3},10\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ \\ \\
D_{\vec u}F(2,3)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\dfrac{10}{\sqrt{2}}\\ \\ \\
\boxed{D_{\vec u}F(2,3)=-\dfrac{2\sqrt{3}+10}{\sqrt{2}}}$

3 votes Thanks 1

fernandomrb Muchisimas gracias

CarlosMath :)