Question

Ayuda con ejercicio
Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen.

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RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos sacar el dominio de nuestra función, de tal manera que tenemos lo siguiente:

f(x) = 1/(x-1)²/³

Entonces la restricción es que el denominador sea distinto de cero, entonces:

x-1 ≠ 0

x ≠ 1

Df : R - {1}

Por tanto existe una singularidad en x = 1 que debemos resolver. Ahora resolvemos la impropia, tenemos que resolver inicialmente la integral.

∫₀³ dx/(x-1)²/³ = ∫₀¹⁻ dx/(x-1)²/³  + ∫₁₊³ dx/(x-1)²/³

Observemos que como en x hay una singularidad debemos separarla justo en esta singularidad, cuando es 1 por la derecha (1⁺) y uno por la izquierda (1⁻).

Por otra parte, sabemos que en x = 1 existe una singularidad, por ello debemos cambiarla por una letra que represente este valor, en este caso lo sustituimos por el valor de "a" tenemos:

I = ∫₀⁻ᵃ dx/(x-1)²/³  + ∫₊ₐ³ dx/(x-1)²/³

Resolvemos la integral, tenemos:

I = 3·(x-1)¹/³ |₀⁻ᵃ + 3·(x-1)¹/³ |₊ₐ³

Evaluamos limite superior menos limite inferior, tenemos que:

I = [3·(a-1)¹/³ - 3·(-1)¹/³] + [3·(3-1)¹/³ - 3·(a-1)¹/³]

Ahora, sabemos que "a" es una letra que tiende a una singularidad, y la función no existe aquí, por ende debemos sacar el limite cuando tiende a esta singularidad.

Limₐ.₁₋ [3·(a-1)¹/³ - 3·(-1)¹/³] = +3

Limₐ.₁₊ [3·(3-1)¹/³ - 3·(a-1)¹/³] = + 3.78

I = +3 + 3.78 = 6.78

La función converge y tiene un valor de 6.78.