Question

A) Wykaż, że jeżeli a,b∈C oraz a jest wielokrotnością liczby 3 i a≠3b,
to liczba (a²-9b²)/(3a-9b) jest liczbą całkowitą.

b)Wykaż że dla dowolnej liczby dodatniej a jest spełniona nierówność a+1/a≥2

Answer 1

A)
(a²-9b²) / (3a-9b) = [(a + 3b) (a - 3b)] / [3 * (a - 3b)] =
(a + 3b) / 3
a jest wielokrotnością liczby 3, więc a = 3n dla pewnego n całkowitego.
(a + 3b) / 3 = (3n + 3b) / 3 = n + b

Zatem jest to liczba całkowita.


b)
wiadomo, że:
(a - 1)²≥ 0
a² - 2a + 1 ≥0
a² + 1 ≥2a
a jest dodatnie, więc można podzielić obustronnie przez a i otrzymać
a + 1/a ≥ 2

A to było do wykazania.