Question

Wykaż że jeżeli x,y,z ∈R+ i x+y+z=1, to 1/x+1/y+1/z ≥9

Answer 1

Średnia arytmetyczna liczb x, y, z wynosi:
(x + y + z) / 3 = 1/3

Średnia harmoniczna liczb x, y, z wynosi:
3 / (1/x + 1/y + 1/z)

Na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i harmoniczną (arytmetyczna ≥ harmoniczna) dla liczb dodatnich:

1/3 ≥ 3 / (1/x + 1/y + 1/z) /*3
1 ≥ 9 / (1/x + 1/y + 1/z)
1/x + 1/y + 1/z ≥ 9

co było do wykazania.