Question

A) |x-1|+|x+1|=2
b) |x-3|-|x-5|=4

Answer 1

Wartość bezwzględna to zamiana znaku na plus - dając przed nawias minus bądź nie (łopatologiczna definicja):
|3|=(3)=3
|-3|=-(-3)=3

więc w zależności czy coś jest ujemne czy dodatnie to jest minus bądź go nie ma:

|x-1|=(x-1) jeśli x-1>0 czyli gdy x>1
|x-1|=-(x-1) jeśli x-1<0 czyli gdy x<1

a) |x-1|+|x+1|=2

patrzymy gdzie nasze wartości bezwzględne przyjmują wartość zero: pierwsza dla x równego 1, druga dla x równego -1... mamy trzy przedziały:

1⁰:
(x-1)+(x+1)=2 gdy x≥1
2x=2
x=1

czyli w przedziale x≥1 jest jedno rozwiązanie x=1

2⁰
-(x-1)+(x+1)=2 gdy 1>x≥-1
-x+1+x+1=2
2=2

w przedziale x∈<-1;1) rozwiązaniem są wszystkie wartości rzeczywiste czyli x∈<-1;1)

3⁰

-(x-1)-(x+1)=2 gdy x<-1
-x+1-x-1=2
-2x=2
x=-1

skoro x<-1,a rozwiązanie wyszło x=-1 to jest ono spoza zbioru - tak więc je wywalamy... łączymy 1⁰ i 2⁰, mamy, że:
x∈<-1;1) i x=1, razem:
x∈<-1;1>



b) |x-3|-|x-5|=4

tak samo, x się zeruje dla 3 i dla 5:
1⁰ (x-3)-(x-5)=4 dla x≥5

x-3-x+5=4
2=4

sprzeczność czyli w tym przedziale nie ma rozwiązań

2⁰ (x-3)-(-(x-5))=4 dla 5>x≥3

x-3+x-5=4
2x=12
x=6

wyszedł nam wynik z poza przedziału więc też go odrzucamy

3⁰ -(x-3)-(-(x-5))=4 dla x≤3
-x+3+x-5=4
-2=4

też sprzeczność...

odpowiedzią jest: nie istnieje takie x by równość była spełniona