Question

A)
Tworząca stożka o długosci 6 pierwiatek 6 jest nachylona do podstawy pod kątem 45. Oblicz objetosc stozka.

B)
Tworząca stozka ma długosc 20 a kat rozwarcia stozka ma miare 120 stopni. Oblicz objetosc stozka.

Answer 1

Zad.1
Tworząca stożka l o długości 6√6
kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy α = 45⁰, więc
wysokość stożka h jest równa promieniowi podstawy r
korzystamy z proporcji trygonometrycznych w trójkącie
prostokątnym o bokach: h, r i l (przeciwprostokątna)
sin α = cos α = √2/2
h/l = r/l = √2/2
h/6√6 = √2/2, stąd h = (√2/2)*(6√6) = (6*√12)/2 = 12√3/2= 6√3
r = h = 6√3
obliczamy objętość stożka
V = ⅓πr²h = ⅓π*(6√3)²*(6√3) =72π*3√3 =216√3π
Zad.2
Kąt rozwarcia stożka 120⁰
½ ze 120⁰ = 60⁰
korzystamy z proporcji trygonometrycznych w trójkącie
prostokątnym o bokach: h, r, l -przeciwprostokątna i kącie α=60⁰
tworząca stożka l = 20
sin α = sin 60⁰ = r/l, stąd r = l*√3/2= 10√3 {sin 60⁰ = √3/2}
cos α = cos 60⁰ = h/l, stąd h = l* ½ = 10 {cos 60⁰ = ½}
obliczamy objętość stożka
V = ⅓πr²h= ⅓π(10√3)²* 10 = 1000π