WIELOMIANY
Zad. 1/86
.Sprawdź czy podana obok wielomianu W(x) liczba jest jego pierwiastkiem, jeśli:
b) W(x) = 5x³ - 2x² + 6x-9 ; 1
c) W(x) = 6x⁴ - 3x² + 5x+3; -1
d) W(x) = x⁴ - 7x³ + 16x² - 20x+16; 2
Zad. 2/86
Sprawdź, która z liczb z podanego zbioru A jest pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli:
a) W(x) = x³ - 3x² -4x + 12, A = {-1, √2, 3}
b) W(x) = x³ - x² +3x - 3, A = {-√3, -1, 1}
c) W(x) = x⁴- 2x² - 3, A = {-√3, -⅓, 1, √3}
d) W(x) = x⁴ -3x² - 10, A = {-√5, 0, ½, √5}
Zad. 5/86
Podaj wszystkie pierwiastki (o ile istnieją) wielomianu W (x), jeśli:
a) W(x) = (x-1)(x+4)x
b) W(x) = (3x-1)(x²-9)(4x+2)
c) W(x) = (2x²+1)(x²+3)(1-2x)
d) W(x) = (x² + 4x-5)(2x²+7)
e) W(x) = 2x²+x+7)(x²-5)(x²+5x+6)
f) W(x) = (-x²+3x-8)(5x²+25)(x²+1)
Dam najlepszą, jak będą wszystkie przykłady :)
zad 1
Liczba x=p jest pierwiastkiem wilomianu wtw, gdy W(p)=0
-----------------------------------------------------------
b) W(x)=5x³-2x²+6x-9 ; 1
W(1)=5*1³-2*1²+6*1-9
W(1)=5-2+6-9
W(1)=0
x=1 jest pierwiastkiem wielomianu.
-----------------------------------------------------------
c) W(x)=6x⁴-3x²+5x+3; -1
W(-1)=6*(-1)⁴-3*(-1)²+5*(-1)+3
W(-1)=6-3-5+3
W(-1)=1
x=-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu.
-----------------------------------------------------------
d) W(x)=x⁴-7x³+16x²-20x+16; 2
W(2)=2⁴-7*2³+16*2²-20*2+16
W(2)=16-56+64-40+16
W(2)=0
x=2 jest pierwiastkiem wilomianu.
==============================
zad 2
a) W(x) = x³ - 3x² -4x + 12, A = {-1, √2, 3}
W(-1)=(-1)³-3*(-1)²-4*(-1)+12=-1-3+4+12=12
W(√2)=√2³-3√2²-4√2+12=2√2-3*4-4√2+12=-2√2-12+12=-2√2
W(3)=3³-3*3²-4*3+12=27-27+12-12=0
Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
-----------------------------------------------------------
b) W(x) = x³ - x² +3x - 3, A = {-√3, -1, 1}
W(-√3)=(-√3)³-(-√3)²+3√3-3=-3√3-3+3√√3-3=0
W(-1)=(-1)³-(-1)²+3*(-1)-3=-1-1-3+3=-2
W(1)=1³-1²+3*1-3=1-1+3-3=0
Liczby -√3 i 1 są pierwiastkami wielomianu W(x).
-----------------------------------------------------------
c) W(x) = x⁴- 2x² - 3, A = {-√3, -⅓, 1, √3}
W(-√3)=(-√3)⁴-2*(-√3)²-3=9-2*3-3=0-6-3=0
W(-1/3)=(-1/3)⁴-2*(-1/3)²-3=1/81 - 2/9 -3=1/81 - 18/81 -3=-3 i 17/81
W(√3)=√3⁴-2*√3²-3=9-2*3-3=9-6-3=0
Liczby -√3 i √3 są pierwiastkami wielomianu W(x).
-----------------------------------------------------------
d) W(x) = x⁴ -3x² - 10, A = {-√5, 0, ½, √5}
W(-√5)=(-√5)⁴-3*(-√5)²-10=25-3*5-10=25-15-10=0
W(0)=0⁴-3*0²-10=0-0-10=-10
W(1/2)=(1/2)⁴ - 3*(1/2)² -10=1/16 - 3/4 -10=1/16 - 12/16 -10=-10 i -11/16
W(√5)=√5⁴-3*√5²-10=25-3*5-10=25-15-10=0
Liczby -√5 i √5 są pierwiastkami wielomianu W(x).
==============================
zad 3
a) W(x)=(x-1)(x+4)x
(x-1)(x+4)x=0
x-1=0 lub x+4=0 lub x=0
x₁=1 x₂=-4 x₃=0
-----------------------------------------------------------
b) W(x)=(3x-1)(x²-9)(4x+2)
(3x-1)(x²-9)(4x+2)=0
(x - 1/3)(x-3)(x+3)(x + 1/2)=0
x - 1/3=0 lub x-3=0 lub x+3=0 lub x + 1/2=0
x₁=1/3 x₂=3 x₃=-3 x₄=-1/2
-----------------------------------------------------------
c) W(x)=(2x²+1)(x²+3)(1-2x)
(1-2x)(2x²+1)(x²+3)=0
(1/2 - x)(2x²+1)(x²+3)=0
1/2 - x=0 lub 2x²+1=0 lub x²+3=0
x₁=1/2 brak brak
[Wyrażenia: 2x²+1=0 i x²+3=0 są nierozkładalne - niepełny kwadrat sumy]
-----------------------------------------------------------
d) W(x)=(x²+4x-5)(2x²+7)
(x²+4x-5)(2x²+7)=0
(x+5)(x-1)(2x²+7)=0
x+5=0 lub x-1=0 lub 2x²+7=0
x₁=-5 x₂=1 brak
[Wyrażenie 2x²+7=0 jest nierozkładalne - niepełny kwadrat sumy]
---
x²+4x-5=0
Δ=b²-4ac=4²-4*1*(-5)=16+20=36
√Δ=6
x₁=[-b-√Δ]/2a=[-4-6]/2=-10/2=-5
x₂=[-b+√Δ]/2a=[-4+6]/2=2/2=1
-----------------------------------------------------------
e) W(x)=(2x²+x+7)(x²-5)(x²+5x+6)
(x²+5x+6)(x²-5)(2x²+x+7)=0
(x+3)(x+2)(x-√5)(x+√5)(2x²+x+7)=0
x+3=0 lub x+2=0 lub x-√5=0 lub x+√5=0 lub 2x²+x+7=0
x₁=-3 x₂=-2 x₃=√5 x₄=-√5 brak
---
2x²+x+7=0
Δ=b²-4ac=1²-4*2*7=1-56=-55<0
Wyrażenia nie można rozłożyć.
---
x²+5x+6=0
Δ=b²-4ac=5²-4*1*6=25-24=1
√Δ=1
x₁=[-b-√Δ]/2a=[-5-1]/2=-6/2=-3
x₂=[-b+√Δ]/2a=[-5+1]/2=-4/2=-2
-----------------------------------------------------------
f) W(x) = (-x²+3x-8)(5x²+25)(x²+1)
(-x²+3x-8)(5x²+25)(x²+1)=0
-x²+3x-8=0 lub 5x²+25=0 lub x²+1=0
brak brak brak
Wilomian nie ma pierwiastlków:
[Wyrażeń 5x²+25 i x²+1 nie można rozłożyć - niepełny kwadrat sumy]
---
-x²+3x-8=0
Δ=b²-4ac=3²-4*(-1)*(-8)=9-32=-23<0
Wyrażenia nie można rozłożyć.
zadanie 1.
b) W(x)=5x³-2x²+6x-9 ; 1
W(1)=5-2+6-9=0 jest pierwiastkiem bo 0=0
c) W(x)=6x⁴-3x²+5x+3; -1
W(-1)=6-3-5+3=1 nie jest
d) W(x)=x⁴-7x³+16x²-20x+16; 2
W(2)=16-56+64-40+16=0 jest
zadanie 2.
a)
W(x) = x³ - 3x² -4x + 12, A = {-1, √2, 3}
W(-1)=-1-3+4+12=12
W(√2)=-2√2-12+12=-2√2
W(3)=27-27+12-12=0- jest oierwiastkiem lb(3)
b)
W(x) = x³ - x² +3x - 3, A = {-√3, -1, 1}
W(-√3)=-3√3-3+3√√3-3=0 jest
W(-1)=-1-1-3+3=-2
W(1)=1-1+3-3=0 jest
c)
W(x) = x⁴- 2x² - 3, A = {-√3, -⅓, 1, √3}
W(-√3)=9-2*3-3=0-6-3=0 jest
W(-1/3)=1/81 - 18/81 -3=-3 i 17/81
W(√3)=9-2*3-3=9-6-3=0 jest
d)
W(x) = x⁴ -3x² - 10, A = {-√5, 0, ½, √5}
W(-√5)=25-3*5-10=25-15-10=0 jest
W(0)=0-0-10=-10
W(1/2)=1/16 - 12/16 -10=-10 i -11/16
W(√5)=25-3*5-10=25-15-10=0 jest
zadanie 3.
a)
W(x)=(x-1)(x+4)x
x-1=0 lub x+4=0 lub x=0
x₁=1 x₂=-4 x₃=0
b)
W(x)=(3x-1)(x²-9)(4x+2)
x - 1/3=0 x-3=0 x+3=0 x + 1/2=0
x₁=1/3 x₂=3 x₃=-3 x₄=-1/2
c)
W(x)=(2x²+1)(x²+3)(1-2x)
1/2 - x=0 2x²+1=0 x²+3=0
x₁=1/2 nie ma nie ma
d)
W(x)=(x²+4x-5)(2x²+7)
(x+5)(x-1)(2x²+7)=0
x+5=0 x-1=0 2x²+7=0
x₁=-5 x₂=1 nie ma
e)
W(x)=(2x²+x+7)(x²-5)(x²+5x+6)
(x+3)(x+2)(x-√5)(x+√5)(2x²+x+7)=0
x+3=0 x+2=0 x-√5=0 x+√5=0 2x²+x+7=0
x₁=-3 x₂=-2 x₃=√5 x₄=-√5 nie ma
f)
W(x) = (-x²+3x-8)(5x²+25)(x²+1)
(-x²+3x-8)(5x²+25)(x²+1)=0
-x²+3x-8=0 5x²+25=0 x²+1=0
nie ma nie ma nie ma
Wilomian nie ma pierwiastlków