Question

1wyznacz wyraz poczatkowy i iloraz oraz podaj ogolny wyraz ciagu geometrycznego:

a2=1 i a5=1/8

a4=81 i a6=729

a2+a4=10 i a3-a2=2

a2+a3=3/4 i a2-a4=3/8

2oblicz dla jakiej wartosci x liczby x, x-2, x+12 w podanej kolejnosci sa wyrazy ciagu geometrycznego.

3wyznacz liczby x i y tak, aby ciag (-45,x,75) byl arytmetyczny, a ciag (x,75,y) byl geometryczny

4 wyznacz liczby x i y tak, aby (4,x,64) byl geometryczny, a ciag (x,64,y) byl artymetyczny

Answer 1

x^y ==> x do potęgi y

1)

1 = a2 = a1 *q

1/8 = a5 = a1*q^4

/dzielisz a5 na a2/

1/8 = q^3

q = 1/2

a1 = a2 / q

a1 = 2

an = 2^ (2-n)   - 2 do potęgi 2-n

2)

81 = a4 = a1 *q^3

729 = a6 = a1*q^5

729:81 = q^2

q^2 = 9

q = 3                            lub q= -3

a1 = a4 : q^3

a1 = 81: 27 = 3         lub  a1 = 81: (-27) = -3

an = 3^n

 

3)

a2 + a4 = 10                                         a3-a2 = 2

a1 *q + a1*q^3 = 10                               a1*q^2 - a1*q = 2

a1*q (1+q^2) = 10                                 a1*q (q-1) = 2

 

dzielimy to po lewej przez to po prawej

(1+q^2) : (q-1) = 5   /(q-1)

1+q^2 = 5q - 5

q^2 - 5q +6 = 0

q^2 - 3q -2q +6 = 0

(q-2)(q-3) = 0

q=2                          lub q=3

 

a1*q(q-1) = 2

a1 = 1                      lub a1 = 1/3

an = 2^(n-1)             lub an = 3^(n-2)

 

4)

a2 + a3 = 3/4                      a2 - a4 = 3/8

/jak wyżej/

a1*q(1+q) = 3/4                  a1*q(1-q^2) = 3/8

(1-q^2) : (1+q) = 1/2

1-q = 1/2

q = 1/2

a1*q(1+q) = 3/4

a1 = 1

an = 1/2 ^(n-1)

 

zad. 2

x, x-2, x+12

(x-2)^2 = x(x+12)

x^2 - 4x + 4 = x^2 + 12x

16x =4

x=4

 

 

zad 3wyznacz liczby x i y tak, aby ciag (-45,x,75) byl arytmetyczny, a ciag (x,75,y) byl geometryczny

 

-45, x, 75 - c.a                                   x, 75, y - c.g.

                                                          15,75,y

b = (a+c):2                                          b^2 = ac

x = (-45+75):2                                    75*75 = 15y

x = 15                                                y = 375

 

 

zad 4 wyznacz liczby x i y tak, aby (4,x,64) byl geometryczny, a ciag (x,64,y) byl artymetyczny

 /jak w zadaniu 3/

4,x,64 - cg

x^2 = 64*4 = 256

x= 16    lub x = -16

 

x, 64,y - c.a

16,64,y                              lub   -16,64,y

64 = (16+y):2                     64 = (-16 + y) :2

y = 112                               y=144

 

 

 

 

 

Answer 2

1.   a niech będzie pierwszym wyrazem czyli a1

 

a)  a2=1 i a5=1/8

 

aq=1

aq^4=1/8

 

a=1/q

q^4/q=1/8

q^3=1/8

q=1/2   -iloraz

 

a=2      -wyraz początkowy

Na ogólny wyraz ciągu mamy wzór : an=a1*q^(n-1)

Podstawiając : an=2*(1/2)^n-1  

an=2*1/2^n:1/2^1

an=4*1/2^n 

 

b) a4=81 i a6=729

 

aq^3=81  /:q^3

aq^5=729 

 

a=81/q^3  teraz podstawiamy :

 

81q^5/q^3=729

81q^2=729 /:81

q^2=9

q=3 v (lub) q=-3     - iloraz 

a=3 v a =-3          - pierwszy wyraz

 

Ogólny wyraz : an=1*3^n 

 

c) a2+a4=10    a3-a2=2

 układ równań:

aq+aq^3=10

aq^2-aq=2  

wyciągamy a z dwóch równań:

a(q+q^3)=10      /:(q+q^3)

a(q^2-q)=2        /:(q^2-q)

 

10/q+q^3=2/q^2-q     mnożąc na krzyż:

 

10q^2-10q=2q+2q^3

-2q^3+10q^2-12q=0  /:2

-q^3+5q^2-6q=0 /(*-1)

g^3-5q^2+6q=0

q(2)=0

(q-2)(q^2-3q)=0

q=2 

a=1

Ogólny wyraz: an=1/2*2^n 

 

d) a2+a3=3/4  a2-a4=3/8

aq+aq^2=3/4

aq-aq^3=3/8

Wyciągamy a z dwóch równań i je porównujemy

 

a=3/4(q+q^2)

a= 3/8(q-q^3)

 

3/(4q+4q^2)=3/(8q-8^3)

24q-24q^3=12q+12q^2  /:12

2q-2q^3=q+q^2

2q^3+q^2-q=0

q(1/2)=0

(q-1/2)(2q^2-2q)=0

q=1/2 

a=1

Ogólny wyraz : 1*1/2^n 

 

 

2. x,x-2,x+12

 

ułóżmy wzór na wyraz środkowy w ciągu geometrycznym

 

(x-2)^2=x* (x+12)

x^2-4x+4=x^2+12x

16x=4

x=1/4=0,25

 

ciąg wygląda następująco :      w którym q=-7

0,25  ; -1,75  ; 12,25

Odp.Dla x=0,25 

 

3.

 

-45,x,75 --- ciąg arytm

x,75,y ---- geometryczny

 

Układamy dla każdego równania jedno równanie na wyraz środkowy:

 

x=(-45+75)/2  czyli x=15

75^2=x*y  (do tego możemy podstawić powyższy x)

 

5625=15y

y=375

 

Odp. y=375 , x=15

 

 

4.

 

4,x,64 -----ciąg geome

x,64,y --arytmetyczny

 

Również na wyrazy środkowe ;

 

64=(x+y)/2

x^2=64*4

 z powyższego:

x^2=256

x=16 lub x=-16

podstawmy x do drugiego równania:

 

128=x+y

128=16+y

y=112

128=-16+y

y=144

 

Czyli x=16,y=112 lub x=-16,y=144