Question

Na W C Z O R A J :)

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm wpisujemy prostokąt, w taki sposób jak na rysunku. Wyznacz wymiary tego prostokąta, który ma największe pole powierzchni.

Wiem, że z Talesa. Jeden bok oznaczam jako x, drugi y. I mam proporcje 6-y/x= 6/8. Nie wiem co dalej :)

Answer 1

Dobra weźmy że jedna przyprostokątna ma 6 cm, równoległy do niej bok prostokąta w środku oznaczam przez x. Podobnie z drugim, druga przyprostokątna ma 8 cm i równoległy do niej drugi bok prostokąta oznaczam przez y. Wtedy dostaję rzeczywiście proporcję z tw. Talesa postaci
x/(6-x)=y/(8-y)
Mnożę je na krzyż i mam x(8-y)=y(6-x).
Upraszczając je mam 8x-xy=6y-xy, a co za tym idzie 8x=6y.
Teraz liczę pole tego trójkąta prostokątnego P=(6*8)/2=24 cm².
Teraz pole małych trójkątów i pole prostokąta muszą być równe polu całego trójkąta więc liczę
pole prostokąta x*y
pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej x mamy [(8-y)*x]/2
pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej y mamy [(6-x)*y]/2
Teraz je sumuję x*y+[(8-y)*x]/2+[(6-x)*y]/2=24
Mnożę obustronnie przez 2
2x*y+(8-y)*x+(6-x)*y=48
2xy+8x-xy+6y-xy=48
8x+6y=48,
Z twierdzenia Talesa wiemy że 8x=6y, zatem
8x+8x=48
16x=48 /:16
x=3 zatem 8*3=6*y, 24=6*y, y=4.
Zatem rozwiązanie to
x=3 i y=4 :)