Question

74) Suma pól dwóch kwadratów jest równa 104, a różnica długości ich przekątnych jest równa 4. Wyznacz długości tych kwadratów.

75) Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 155. Wyznacz te liczby.

76) cena towaru po dwukrotnej obniżce o ten sam procent, spała z 680 zł do 613,70 zł. O ile procent obniżono cenę za każdym razem?

77) Funkcja f jest okeślona wzorem f(x) = (1-x)(x+1) + 2x. Wyznacz zbiór wartości.

Answer 1

74) Suma pól dwóch kwadratów jest równa 104, a różnica długości ich przekątnych jest równa 4. Wyznacz długości tych kwadratów.

 

x - bok 1. kwadratu
y - bok 2. kwadratu
x² + y² = 104
x√2 - przekątna 1 kwadratu
y√2 - przekątna 2 kwadratu

x√2 - y√2 = 4
x² + y² = 104

√2(x -y ) =4 /:√2
x² + y² = 104

x-y = 4:√2
x² + y² = 104

x-y =(4:√2)*(√2;√2)
x² + y² = 104

x -y =2√2
x² + y² = 104

x = 2√2 +y
(2√2 +y)² + y² = 104

x = 2√2 +y
8 +4√2y + y² + y² -104 = 0

x = 2√2 +y
2y² +4y√2 - 96 = 0 /:2

x = 2√2 +y
y² +2y√2 -48 = 0

x = 2√2 +y

Rozwiązuję 2-ie równanie
y² +2y√2 -48 = 0
a= 1
b = 2√2
c = -48
Δ = (2√2)² -4*1*(-48) = 8 + 192 = 200
√Δ = √200 = √100*√2 = 10√2
y₁ = (-2√2 - 10√2): 2*1 = - 6√2
y₂ = (-2√2 + 10√2): 2*1 = 4√2


teraz obliczam x₁ i x₂

x₁ = 2√2 + y₁ = 2√2 - 6√2 = - 4√2
x₂ = 2√2 + y₁ = 2√2 + 4√2 = 6√2

x₁=- 4√2 i y₁=- 6√2
lub
x₂ = 6√2 i y₂= 4√2


Ponieważ pola kwadratów nie mogą być ujemne wiec rozwiązanie x₁ i y₁ pomijamy
Ostatecznie x = 6√2 - długość boku I kwadratu
i y = 4√2 - długość boku II kwadratu

 

 

75) Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 155. Wyznacz te liczby.

 

(2x+1)²+(2x+3)²+(2x+5)²=155

4x²+4x+1+4x²+12x+9+4x²+20x+25=155

12x²+36x+35=155

12x²+36x=120

12(x²+3x)=120

x²+3x=10 ⇒ x=2

 

2x+1 = 5

2x+3 = 7

2x+5 = 9

 

76) cena towaru po dwukrotnej obniżce o ten sam procent, spała z 680 zł do 613,70 zł. O ile procent obniżono cenę za każdym razem?

 

x-procent
po I obniżce
680- x/100*680=680-6.8x
po II obnizce
680-6.8x- x/100*(680-6.8x)=613.70
680-6.8x-6.8x+68x²/1000=613.70
68x²/1000-13.6x-66.3=0//*1000
68x²-13600x-66300=0
x²-200x-975=0

Δ=40000-3900=36100

x₁=(200+190)/2=195
x₂=(200-190)/2=5 <=więc to

 

Answer 2

z.74

a > b

a, b  - długości boków kwadratów

Mamy a^2 +b^2 = 104

a p(2) - b p(2) = 4 /p(2)

a - b = 2 p(2) --> b = a - 2 p(2)

a^2 + [ a - 2 p(2)]^2 = 104

a^2 + a^2 - 4a p(2) + 8 = 104

2 a^2 - 4 a p(2) - 96 = 0  / : 2

a^2 - 2 p(2) a - 48 = 0

-------------------------------

delta = [ - 2 p(2)]^2 - 4*1*(- 48) = 8 + 192 = 200 = 100*2

p (delty) = 10 p(2)

a = [ 2 p(2) - 10 p(2)]/2 < 0  - odpada

a = [ 2 p(2) + 10 p(2)]/2 = 6 p(2)

a = 6 p(2)

=========

b = a - 2 p(2) = 6 p(2) - 2 p(2) = 4 p(2)

b = 4 p(2)

============

Odp. Boki tych kwadratów maja długości : 6 p(2) i  4 p(2)

=================================================

p(2)  - pierwiastek kwadratowy z 2

------------------------------------------------------------------------------

z.75

x - liczba nieparzysta

x, x +2, x + 4   - kolejne liczby nieparzyste

zatem

x^2 + ( x +2)^2 + ( x + 4)^2 = 155

x^2 + x^2 + 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 = 155

3 x^2 + 12 x + 20 = 155

3 x^2 + 12 x - 135 = 0 / : 3

x^2 + 4 x - 45 = 0

-------------------------

delta = 4^2 - 4*1*( - 45) = 16 + 180 = 196

p (delty) = 14

x = [ - 4 - 14]/2 = - 18/2 = - 9

lub x = [ - 4 + 14]/2 = 10/2 = 5

Odp.

1) Mamy liczby: -9, -7, - 5

2) Mamy liczby: 5, 7,9

========================

z.76

680 zl - początkowa cena towaru

613,70   -  końcowa cena towaru po dwukrotnej obnizce ceny o taki sam %

x  -  ilość procent obniżki

Mamy

Cena po I obnizce o x %

680 - (x/100)*680 = 680 - 6,8 x

Cena po II obnizce o x %

[ 680 - 6,8 x ] - (x/100)*[ 680 - 6,8 x] = 680 - 6,8x - 6,8x + 0,068 x^2

zatem

0,068 x^2 - 13,6x + 680 = 613,7

0,068 x^2 - 13,6 x + 66,3 = 0

---------------------------------------

delta = (-13,6)^2 - 4*0,068*66,3 = 184,96 - 18,0336 = 166,9264

p(delty) = 12,92

x = [ 13,6 - 12,92]/( 2*0,068) = 0,68 /2*0,068 = 5

lub x = [ 13,6 + 12,92]/[2*0,068] = 25,8 / 0,136 = około 190  - odpada

Odp. Cenę towaru obniżono dwukrotnie o  5 %.

=============================================

z.77

f(x) = (1 -x)*(x + 1) + 2x

f(x) = x + 1 - x^2 - x + 2x = - x^2 + 2x + 1

a = - 1 < 0

p = -2/(-2) = 1

q = f(p) = f(1) = - 1^2 +2*1 + 1 = - 1 +2 + 1 = 2

ZW = ( - 00; q > = ( - oo; 2 >

============================================