68) Dana jest funkcja kwadratowa w jednej z trzech postaci: ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej. Ok.... Question from @meanie3

September 2018 1 34 Report

68) Dana jest funkcja kwadratowa w jednej z trzech postaci: ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej. Określ jaka to postać i o ile to możliwe zapis ją w dwuch pozosstałych
a) y= -(x - 4)² + 1
b) y= ½x² + x - 4
d) y= x² - 2x + 3

72) Rozwiąż równania:
a) -
b) 5x² = 3x
c) x² - 4x + 1 = 0
d) 3x² + 7 = 5x

73) Rozwiąż nierówności:
a) -2x² + 5x + 3 < 0
b) x² - 4 √2x + 8 ≤ 0
c) -½x² + x - 1 ≤ 0

Roma

68.

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej (wielomianowej), kanonicznej lub iloczynowej.

- postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c.

- postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie

$p=\frac{-b}{2a}; \ q=\frac{-\Delta}{4a}$

- postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x -x₂), gdzie

x₁, x₂ są miejscami zerowymi.

y = -(x - 4)² + 1 ⇒ postać kanoniczna

y = -(x - 4)² + 1 = - (x² - 8x + 16) + 1 = - x² + 8x - 16 + 1 = - x² + 8x - 15

y = - x² + 8x - 15 ⇒ postać ogólna

a = - 1; b = 8, c = - 15

Δ = 8² - 4 · (-1) · (-15) = 64 - 60 = 4; √Δ = 2

$x_1 = \frac{-8-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-10}{-2} = 5$

$x_2 = \frac{-8+2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$

y = -1·(x - 5)(x - 3) = -(x - 5)(x - 3) ⇒ postać iloczynowa

y = ½x² + x - 4 ⇒ postać ogólna

a = ½; b = 1; c = - 4

Δ = 1² - 4 · ½ · (-4) = 1 + 8 = 9; √Δ = 3

$x_1 = \frac{-1-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-4}{1} = -4$

$x_2 = \frac{-1+3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{1} =2$

y = ½(x + 4)(x - 2) ⇒ postać iloczynowa

$p=\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-1}{1} = - 1$

$q=\frac{-9}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-9}{2} = - 4\frac{1}{2}$

y = ½(x + 1)² - 4½ ⇒ postać kanoniczna

y = x² - 2x + 3 ⇒ postać ogólna

a = 1; b = - 2; c = 3

Δ = (-2)² - 4 · 1 · 3 = 4 - 12 = - 8 < 0

zatem funkcja nie ma miejsc zerowych i nie można jej zapisać w postaci iloczynowej

$p=\frac{2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$q=\frac{8}{4 \cdot 1} = \frac{8}{4} = 2$

y = (x - 1)² + 2 ⇒ postać kanoniczna

72.
b)

5x² = 3x

5x² - 3x = 0

x·(5x - 3) = 0

x = 0 v 5x - 3 = 0

x₁ = 0

lub

5x - 3 = 0

5x = 3 /:5

x₂ = ⅗

Odp. x₁ = 0; x₂ = ⅗

x² - 4x + 1 = 0

a = 1; b = -4; c = 1

Δ = (-4)² - 4 · 1 · 1 = 16 - 4 = 12; √Δ = √12 = √4·3 = 2√3

$x_1 = \frac{4-2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

$x_2 = \frac{4+2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

Odp. x₁ = 2 - √3; x₂ = 2 + √3

3x² + 7 = 5x

3x² - 5x + 7 = 0

a = 3; b = -5; c = 7

Δ = (-5)² - 4 · 3 · 7 = 25 - 84 = - 59 < 0

Odp. Równanie nie ma rozwiązań.

73.
a)

-2x² + 5x + 3 < 0

a = - 2; b = 5; c = 3

Δ = 5² - 4 · (-2) · 3 = 25 + 24 = 49; √Δ = 7

$x_1 = \frac{-5-7}{2 \cdot (-2) } = \frac{-12}{-4} =3$

$x_2 = \frac{-5+7}{2 \cdot (-2) } = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

a = - 2 < 0, czyli ramiona paraboli są skierowane w dół. Rysujemy (patrz załącznik) przybliżony wykres, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$x \in (-\infty; \ -\frac{1}{2}) \cup (3; \ + \infty)$

x² - 4 √2x + 8 ≤ 0

a = 1; b = - 4 √2; c = 8

Δ = (-4√2)² - 4 · 1 · 8 = 32 - 32 = 0

$x_0 = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

a = 1 > 0, czyli ramiona paraboli są skierowane w górę. Rysujemy (patrz załącznik) przybliżony wykres, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$x = \{2\sqrt{2}\}$

-½x² + x - 1 ≤ 0

a = -½; b = 1; c = - 1

Δ = 1² - 4 · (-½) · (-1) = 1 - 2 = - 1 < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych

a = - ½ < 0, czyli ramiona paraboli są skierowane w dół. Rysujemy (patrz załącznik) przybliżony wykres, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$x \in R$