Question

Proszę o zrobienie tych 3 zadań z dokładnymi OBLICZENIAMI. :)

1) Pole pierścienia jest równe 24πcm². Promień zewnętrzny ma długość 7 cm. Oblicz stosunek obwodu wewnętrznego pierścienia do obwodu zewnętrznego pierścienia.
(ma wyjść 5/7 - ułamek)

2) Oblicz pole pierścienia jaki tworzą dwa okręgi o tym samym środku S, jeżeli cięciwa większego okręgu, styczna do mniejszego okręgu, ma długość 12 cm. Średnica większego okręgu jest równa 13 cm.
(ma wyjść 36πcm²)

3) Oblicz pole pierścienia, który tworzą okręgi opisany i wpisany w trójkąt równoboczny, którego bok ma długość 4 cm.
(ma wyjść 4πcm²)

Z góry THX :* i proszę o szybką odpowiedź bo to mam na jutro :)

Answer 1

Ad. 1
P₁ = 24π cm² - pole pierścienia
r₁ = 7 cm - promień zewnętrzny
r₂ = ? - promień wewnętrzny
πr₂² = πr₁²-24πcm² /÷π - pole koła wewnątrz pierścienia
r₂² = r₁²-24cm²
r₂² = (7cm)²-12cm²
r₂² = 49cm²-24cm²
r₂²=25cm²
r₂=5cm

Ob₂÷Ob₁=(2πr₂)÷(2πr₁)
Ob₂÷Ob₁=5/7

Ad. 2
d=12cm - długość cięciwy
2r₁=13cm - średnica większego koła
r₁=6,5cm - promień większego koła

Teraz popatrz na załącznik. :)

Cięciwa, promień dużego koła i małego tworzą trójkąt prostokątny. Można więc obliczyć długość promienia małego koła:

(6,5cm)²=r₂²+(6cm)²
42,25cm²-36cm²=r₂²
r₂²=6,25cm²
r₂=2,5cm

P=πr₁²-πr₂²=π(r₁²-r₂²)
P=π×[(6,5cm)²-(2,5cm)²]
p=36πcm²

Ad. 3
r = ⅓h - długość promienia koła wpisanego
R = ⅔h - długość promienia koła opisanego
h=a√3÷2 - wysokość trójkąta równobocznego

r=⅓×4√3cm÷2=⅔√3cm
R=⅔×4√3cm÷2=1⅓√3cm

P=π(R²-r²)
P=π[(1⅓√3cm)²-(⅔√3cm)]
P=4πcm²

Mam nadzieję, że wystarczająco jasno wyjaśniłem... ;)

Answer 2

Zad.1

R-promien zewnetrzny
r-promien wewnetrzny


π * R² - π * r² = 24πcm²
π(R² - r²) = 24πcm²
R² - r² =24cm²
R = 7cm
(7cm)² - r² = 24cm²
49cm² - r² =24cm²
r² = 25cm²
r = 5cm

obwód zewnetrzny: 2 * π * R = 2 * 7cm * π = 14πcm
obwód wewnętrzny: 2 * π * r = 2 * 5m * π = 10πcm

10πcm/ 14πcm = 10/14 = 5/7

odp: Stosunek obwodu wewnętrznego pierścienia do obwodu zewnętrznego pierścienia wynosi 5/7.


zad.2

r- promien mniejszego okręgu
R-promien wiekszego okręgu

r² + (12cm:2)² = R²

r² + 36cm² = R²

R = 13cm : 2 = 6,5cm

r² = (6,5cm)² -36cm² = 42,25cm² - 36cm² = 6,25cm²
r = 2,5cm

pole pierscienia: π * R² - π * r² = π(R² - r²) = (42,25cm² - 6,25cm²)π = 36π cm²

Answer 3

ZADANIE 1.
Przyjmuje:
R₁ - promień wewnętrzny pierścienia
R₂ - promień zewnętrzny promienia (R₂ = 7)

Pole pierścienia:
π(R₂)² - π(R₁)² = 24π
49π - (R₁)²π = 24π /:π
49 - (R₁)² = 24
R₁ = 5 [cm]

Stosunek obwodu wewnętrznego do zewnętrznego:
(2πR₁)/(2πR₂) = R₁/R₂ = 5/7


ZADANIE 2.
R₁ - promień mniejszego okręgu
Rysuje cięciwą i średnice prostopadłą do niej. Następnie prowadzę odcinek od jednego z punktów, gdzie cięciwa przecina się z większym okręgiem do środka okręgów. W ten sposób zbudowałem trójkąt prostokątny, którego pierwsza przyprostokątna to długość promienia małego okręgu, druga przyprostokątna to połowa cięciwy, a przeciwprostokątna to połowa średnicy dużego okręgu.
Z tw. Pitagorasa:
6,5² - 6² = (R₁)² → R₁ = 2,5 [cm]
R₂ = 6,5 [cm] (połowa średnicy)

Pole:
π(R₂)² - π(R₁)² = 42,25π - 6,25π = 36π


ZADANIE 3.
R₁ - promień okręgu wpisanego w trójkąt
R₂ - promień okręgu opisanego na trójkącie

Wysokość trójkąta:
h = (4√3)/2 = 2√3

Z zależności geometrycznych (związki trójkąta równobocznego z okręgiem):
R₁ = (1/3) × h = (2√3)/3
R₂ = (2/3) × h = (4√3)/3

Pole:
π [ (4√3)/3 ]² - π [ (2√3)/3 ]² = π(16/3 - 4/3) = 4π