Question

Zadanie1.
Dany jest ciąg:

an= (n^2+3)/5

Na podstawie odpowiednich definicji:
a) Zbadaj czy jest to ciąg arytmetyczny
b) Zbadaj czy jest to ciąg geometryczny
c) Zbadaj monotonnosc ciągu
d) Narysuj wykres ciągu (zaznacz 4 początkowe wyrazy)

zad2.

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny w którym a1=12 i a2=27
a) Wyznacz różnicę togo ciągu
b) Zapisz wzór na podstawie którego można obliczyc wyraz an dla dla każdej liczby naturalnej, nmiejsze _<1
c) Oblicz wyraz a12

zad3

Pan Kowalski wpłaca do banku sumę 1000zł na rachunek oprocentowany w stosunku rocznym 12%. Oblicz stan jego konta po roku (z uwzględnieniem 20 procentowego podatku od odsetek), w następujących sytuacjach:

a) jeśli kapitalizacja jest miesięczna i pan Kowalski nie dokonuje wpłat ani wypłat.

b) Jeśli kapitalizacja jest miesięczna i pan Kowalski wpłaca na początku każdego miesiąca 1000zł i nie dokonuje wypłat.

z góry dziękuję!;)

Answer 1

Zad.1
Dany jest ciąg: an= (n²+3)/5

a) Zbadaj czy jest to ciąg arytmetyczny
Aby był arytmetyczny, różnica sąsiednich wyrazów musi być stała, czyli:
a(n+1) - an = r = const
[(n+1)²+3]/5 -(n²+3)/5 = (n²+2n+1 + 3 - n² -3)/5 =(2n+1)/5 ≠ const, bo zależy od n, czyli nie jest c. arytm.

b) Zbadaj czy jest to ciąg geometryczny
Aby był geometryczny, iloraz sąsiednich wyrazów musi być stały, czyli:
a(n+1) / an = q = const
[(n+1)²+3]/5 /[(n²+3)/5] = [(n+1)²+3] / (n²+3) = (n²+2n+4)/(n²+3) =
1 + (2n+4)/(n²+3) ≠ const, bo zależy od n, czyli nie jest c. geometr.

c) Zbadaj monotoniczność ciągu
Sprawdzamy różnicę wyrazów sąsiednich ciągu:
a(n+1) - an = (2n+1)/5, różnica wraz z n rośnie, każdy następny wyraz jest większy o kolejną liczbę nieparzystą podzieloną przez 5, więc ciąg jest rosnący (aby był rosnący, wystarczyłoby, aby była różnica stała i dodatnia)

d) Narysuj wykres ciągu (zaznacz 4 początkowe wyrazy)
n = 1, a₁ = 4/5 = 0,8
n = 2, a₂ = 7/5 = 1,4
n = 3, a₃ = 12/5 = 2,4
n = 4, a₄ = 19/5 = 3.8
Na osi poziomej zaznacz n, a na pionowej wartości ciągu.

Zad. 2
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny w którym a1=12 i a2=27
a) Wyznacz różnicę tego ciągu
r = a₂ - a₁ = 27 - 12 =15

b) Zapisz wzór na podstawie którego można obliczyc wyraz an dla dla każdej liczby naturalnej, nmiejsze _<1
an = 12 + 15(n-1)
Nie wiem co to znaczy: nmiejsze _<1

c) Oblicz wyraz a12
a₁₂ = 12 + 15(12 - 1) = 12 + 15 * 11 = 177

Zad. 3
a) jeśli kapitalizacja jest miesięczna i pan Kowalski nie dokonuje wpłat ani wypłat.
Nawet w matmie podatek Belki się wciska...
Kapitalizacja jest miesięczna, to procent mies. wynosi 1%, czyli co miesiąc przybywa 10 zł, od czego jest potrącany podatek 20%, czyli zostaje 8 zł.
Jeśli odsetki dopisują się do kapitału dopiero na koniec roku, to stan konta po roku wyniesie:
1000 + 12 * (10 - 2) = 1096 zł
Jeśli się dopisują na koniec miesiąca, to po miesiącu kapitał wynosi 1008, z czego 1% za luty minus podatek da 1008 * 0,8 * 0,01 = 8,06, z czego 1% za marzec da 1016,06 * 0,8 * 0,01 = 8,13 i tak dalej aż do grudnia. Jak widać stan na koniec roku będzie nieco większy niż 1096 zł.

b) Jeśli kapitalizacja jest miesięczna i pan Kowalski wpłaca na początku każdego miesiąca 1000zł i nie dokonuje wypłat.
Zakładamy, że odsetki nie powiększają kapitału do naliczenia odsetek
Na koniec stycznia: 1000 + 8
Na koniec lutego: 2000 + 2*8
... ... ...
Na koniec grudnia: 12000 + 12*8

Łącznie na koniec roku p. Kowalski zgromadzi:
12000 od wpłat oraz 8(1+2+...+12) odsetek. Odsetki są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi:
8 * (1 + 12)*12/2 = 8*13*6= 624
Razem zgromadzi 12624 zł