Question

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita 'n' jest podzielna przez 12, to liczba 1/2n + 1/3n + 1/4n jest całkowita i podzielna przez 13. Proszę koniecznie o obliczenia i szybką odp.

Answer 1

Jeśli liczba całkowita n jest podzielna przez 12, to znaczy, że jest całkowitą wielokrotnością 12, czyli możemy zapisać:

n = 12k

gdzie k jest liczbą całkowitą.

Oznaczmy liczbę 1/2n + 1/3n + 1/4n literą a.

a = 1/2n + 1/3n + 1/4n

Korzystając z faktu, że n = 12k otrzymujemy:

a = 1/2n + 1/3n + 1/4n = (1/2 × 12k) + (1/3 × 12k) + (1/4 × 12k) =
= 6k + 4k + 3k = 13k

Zatem liczba a jest całkowitą wielokrotnością liczby 13, więc jest podzielna przez 13. Skoro liczba k jest liczbą całkowitą, to liczba 13k, jako iloczyn dwóch liczb całkowitych - 13 i k, również jest liczbą całkowitą.