Question

Podstawa AB trójkąta równobocznego ABC zawarta jest w prostej y = 3/4 x + 1, a wierzchołek C = (-1,4).Wyznacz współrzędne wierzchołków A, B tego trójkąta.

Answer 1

y = (3/4) x + 1  oraz   C = ( - 1; 4)

 

Przez punkt  C prowadzę prostą prostopadłą do danej prostej:

(3/4)*a1 = - 1

a1 = - 4/3

-----------------

y = ( -4/3) x + b1

Za  x  oraz  y   wstawiam współrzędne punktu  C

4 = ( -4/3)*(-1) + b1

4 - 4/3 = b1

12/3 - 4/3 = b1

b1 = 8/3

------------------

y = ( - 4/3) x  + 8/3     - pr CD

 

Punkt D  jest punktem przecięcia się tych prostych

y = (3/4) x + 1

y = ( -4/3) x  + 8/3

-----------------------

(3/4) x + 1 = ( -4/3) x + 8/3  ;     Mnożę  obustronnie przez  12

9 x + 12  = - 16 x + 32

9 x + 16 x = 20

25 x = 20

x = 20/25 = 4/5

y = (3/4)*(4/5) + 1 = 3/5 + 1 = 8/5

D = ( 4/5  ; 8/5 ]

===============

C = ( -1 ; 4)

---------------

h = I CD I  - wysokość trójkąta  ABC

 

h^2 = I CD I^2 = ( 4/5 - (-1))^2 + ( 8/5 - 4)^2 = (9/5)^2 + ( -12/5)^2 =

= 81/25 + 144/25 = 225/25 = 9

h = p(9) = 3

===============

ale

h = a *p(3)/2

zatem

a p(3)/2 = 3

a p(3) = 3*2

a = 2 p(3)

==========

czyli  I AB I = 2 p(3)

Mamy  I AD I = I D B I = p(3)

Niech  A = (x; y) = ( x ; (3/4) x + 1)  , bo leży na prostej AB o równaniu 

y = (3/4)x + 1

I AD I = p(3)  oraz  D = (  4/5 ;  8/5 )

Mamy

I AD I^2 = ( 4/5 - x )^2 + ( 8/5 - (3/4) x - 1)^2 =

= 16/25 - (8/5) x + x^2 + ( 3/5 - (3/4) x)^2 =

= 16/25 - ( 8/5) x + x^2 + 9/25 - (9/10) x + (9/16) x^2

oraz  I AD I^2 =  [ p(3)]^2 = 3

zatem

16/25 - (8/5) x + x^2 + 9/25 - ( 9/10) x + (9/16) x^2  = 3

1 - (8/5) x + x^2 - (9/10) x +(9/16) x^2 = 3

(25/16) x^2 - (25/10) x -2 = 0

(25/16) x^2 - (5/2) x - 2 = 0  / * 16

25 x^2 - 40 x - 32 = 0

----------------------------------------

delta = (  - 40)^2 - 4*25*(-32) = 1 600 + 3 200 = 4 800 = 1 600 *3

p (delty) = 40 p(3)

x1 = [ 40 - 40 p(3) ] 50 = 4/5 - (4/5) p(3)

x2 = [ 40 + 40 p(3)]/50 = 4/5 + (4/5) p(3)

zatem

y1 = (3/4) *[ 4/5  - (4/5) p(3)] + 1 =  8/5 - (3/5) p(3)

y2 = (3/4)*[ 4/5 + (4/5) p(3)] + 1 = 8/5 + (3/5) p(3)

Odp.

A = ( 4/5 - (4/5) p(3) ;   8/5 - (3/5) p(3) )

B = ( 4/5 + (4/5) p(3) ;   8/5 + (3/5) p(3))

=======================================