80) Określ największą wartość funkcji i najmniejszą wartość funkcji w przedziale:
a) f(x) = 3x² - 6x - 4 x∈<0;3>
b) f(x) = - ⅔x² + 5/3x x∈<0;1>
81) w trójkąt równomierny o podstawie długości 6 i ramionach o długości 5 wpisano prostokąt w ten sam sposób że jeden bok prostokąta zawiera się w podstawie trójkąta jakie może być największe pole tego prostokąta?
82) jaką najmniejszą wartość może mieć iloczyn dwóch liczb rzeczywstych różniących się od 6?
83) sprzedawca sprowadza z hurtowni buty płacąc po 80 zł za parę i sprzedaje średnio 30 sztuk miesięcznie po 120 zł. zaobserwowano, że każda kolejna obnizka ceny sprzedarzy pary bótów o 1 zł zwiększa sprzedarz miesięczną o jedną parę. jaką cene pary butów powinien usalić sprzedawca żeby jego zysk miesięczny był najwiękrzy?
84) cena wynajęcia sali na bal syllwestrowy wynosi 1500 zł. okazało się że 5 osób musi zrezygnować z balu w związku z tym każdy z pozostałych uczestników ma zapłacić o 10 zł więcej. Ile osb miało być początkowo na balu?
85) naszkicuj w układzie współrzędnych okróg o równaniu x² + y² - 6x + 8y - 39 = 0. Napisz równanie okręgu o środku punkcie (2;0) przechodzącego przez środek narysowanego okręgu.
z.80
a) f(x) = 3 x^2 - 6 x - 4
< 0; 3 >
Mamy
a = 3 > 0
p = -b/(2a) = 6/6 = 1 oraz 0 < 1 < 3,
zatem funkcja maleje dla x < 1 oraz rośnie dla x > 1
Dla x = 1 funkcja posiada minimum
y min = f(1) = 3*1^2 - 6*1 - 4 = 3 - 6 - 4 = - 7
y max = f(3) = 3 *3^2 - 6*3 - 4 = 3*9 - 18 - 4 = 27 - 22 = 5
===============
b)
f(x) = ( -2/3) x^2 + (5/3) x
< 0 ; 1 >
a = - 2/3
p = - b/(2a) = [- 5/3]/ [ 2*(-2/3)] = [5/3] : [ 4/3] = 5/4 = 1,25
zatem fiunkcja rosnie dla x < 1,25 oraz maleje dla x > 1,25
zatem w całym przedziale < 0; 1 > funkcja rośnie
y min = f(0) = ( -2/3)*0^2 = (5/3)*0 = 0
y max = f(1) = (-2/3)*1^2 + (5/3)*1 = -2/3 + 5/3 = 3/3 = 1
====================================================
z.81
a = 6
b = 5
zatem
wysokość tego trójkąta obliczymy z Tw. Pitagorasa
h^2 = b^2 - (a/2)^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16
h = 4
=====
2x - długość boku prostokąta zawartego w podstawie trójkąta równoramiennego
y - szerokość tego prostokąta
Z podobieństwa trójkątów prostokątnych mamy
( h - y)/x = h/(a/2)
Po podstawieniu liczb mamy
( 4 - y)/x = 4/3
czyli 4 x = 3*(4 - y) = 12 - 3y
3y = 12 - 4x / : 3
y = 4 - (4/3) x
-----------------------
Pole tego prostokąta
P = 2x*y = 2x*[ 4 - (4/3) x] = 8x - (8/3) x^2
P(x) = - (8/3) x^2 + 8x
======================
a = - 8/3 < 0 , zatem funkcja P(x) posiada maksimum
p = -b/(2a) = -8 / ( - 16/3) = 8*(3/16) = 3/2
czyli funkcja P(x) osiąga maksimum dla x = p = 3/2
Pmax = q = P( p) = P(3/2)
P max = - (8/3)*(3/2)^2 + 8*(3/2) = (-8/3)*(9/4) + 12 = - 6 + 12 = 6
P max = 6 j^2
==============
Wtedy 2x = 2*(3/2) = 3 i y = 4 - (4/3)*(3/2) = 4 - 2 =2
Ten prostokąt o największym polu ma wymiary 3 na 2.
===============================================================
z.82
Mamy liczby: x oraz x + 6
Iloczyn = x*(x + 6) = x^2 + 6x
I (x) = x^2 + 6x
-------------------
p = -6/2 = - 3
oraz a = 1 > 0 , zatem funkcja i (x) osiąga minimum dla x = p = - 3
I min = q = I( -3) = (-3)^2 = 6*(-3) = 9 - 18 = - 9
Odp. Iloczyn tych dwóch liczb może mieć najmniejszą wartość równą ( - 9).
==================================================================
z.83
120 zł - 80 zł = 40 zł - zysk ze sprzedaży jednej pary butów
30*40 zł = 1200 zł
x - o ile zmniejszono zysk na jednej parze
x - o tyle zwiększono miesięczną sprzedaż
Mamy
Z(x) = (40 - x)*(30 + x)
Z(x) = 1200 + 40x - 30x - x^2
Z(x) = - x^2 + 10 x + 1200
a = -1 < 0 , zatem funkcja Z(x) posiada maksimum dla x = p
p = -10/(-2) = 5
Z max = q = Z(5) = - 5^2 + 10*5 + 1200 = - 25 + 50 + 1200 = 1225
Sprzedawca powinien obnizyć cenę o 5 zł na parze.
=================================================
z.84
x - początkowa ilość osób
y - początkowa cena
Mamy
x*y = 1 500 --> y = 1 500/ x
(x - 5)*(y + 10) = 1 500
--------------------------------
y = 1 500/x
x*y + 10x -5y - 50 = 1500
---------------------------------
1 500 + 10x - 5*( 1 500/x) - 50 = 1 500
y = 1 500/x
-------------------------------------------
10x - 7 500/x - 50 = 0 / * x
10x^2 - 7 500 - 50x = 0 / : 10
x^2 - 5x - 750 = 0
--------------------------
delta = 25 - 4*1*( - 750) = 25 + 300 = 3 025
p(delty) = 55
x = [ 5 + 55]/2 = 60/2 = 30
y = 1500 / 30 = 50
Odp. Początkowo miało być na balu 30 osób.
==============================================
z.85
x^2 + y^2 - 6x + 8y - 39 = 0
(x -3)^2 - 9 + ( y + 4)^2 - 16 - 39 = 0
(x -3)^2 + ( y + 4)^2 = 64
Jest to równanie okręgu o środku S = ( 3; -4) i r = 8
S1 = ( 2 ; 0)
zatem
I S1 SI ^2 = (3 -2)^2 + (- 4 - 0)^2 = 1 + 16 = 17
czyli ( r1)^2 = 17
oraz równanie okręgu o środku S1 przechodżącego przez S ma postać:
( x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 17
czyli
(x - 2)^2 + y^2 = 17
=======================