Question

Na podstawie wzoru funkji kwadratowej f w postaci iloczynowej podaj miejsca zerowe tej funkcji:

a) f(x)=3(x-2)(x+4)

b) f(x)= -1/4(x-√2)(x+3)

c) 2/3(x+8)(x-1)

d) f(x)=-2/5x(x-6)

e) f(x)=2x(x-1+√3)

f) f(x)= 1/5(x+1+√2)(x+3-√2)

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. Podaj wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Rozwiąz zadanie dwoma sposobami

1 sposob doprowadz wzor funkcji do postaci ogolnej a nastepnie do postaci kanonicznej

2. wyznacz rownanie osi symetrii wykresu funkcji oraz wspołrzedne wierzchołka paraboli

d) f(x)= -1/2(x+6)(x-26)

e) f(x)= 3/5(x-1)(x+5)

f) f(x)= -2/3(x-3)(x-4)

Answer 1

I.
Miejsca zerowe funkcji zapisanej w postaci iloczynowej to iksy, dla których czynniki liniowe (nawiasy) są równe 0
a)
     f(x) = 3(x-2)(x+4)
M.Z.:
           x-2 = 0     ∨    x+4=0
            x₁ = 2              x₂ = -4
b)    
       f(x)= -1/4(x-√2)(x+3)
M.Z.:
         x-√2=0      ∨    x+3=0
           x₁ = √2           x₂ = -3

c)

      f(x)= 2/3(x+8)(x-1)

M.Z.:
         x+8=0      ∨    x-1=0
          x₁ = -8           x₂ = 1

        

d)

       f(x)=-2/5x(x-6)

M.Z.:
            x=0      ∨    x-6=0
           x₁ = 0          x₂ = 6

e)

         f(x)=2x(x-1+√3)

M.Z.:
          x=0      ∨    x-1+√3=0
         x₁ = 0           x₂ = 1 - √3

f)

         f(x)= 1/5(x+1+√2)(x+3-√2)

M.Z.:
         x+1+√2=0      ∨    x+3-√2=0
           x₁ = -1-√2           x₂ = -3+√2

II.
1.
 d) 
f(x) = -¹/₂(x+6)(x-26) = -¹/₂(x² - 26x + 6x - 156) = -¹/₂x² + 13x - 3x + 78

f(x) = -¹/₂x² + 10x + 78
p = -b/(2a) = -10:[2·(-¹/₂)] = -10:(-1) = 10
q = f(p) = -¹/₂·10² + 10·10 + 78 = -¹/₂·100 + 100 + 78 = -50 + 178 = 128

f(x) = -¹/₂ (x + 10)² + 128

e)
f(x) = ³/₅(x-1)(x+5) = ³/₅(x² + 5x - x - 5) = ³/₅x² + 3x - ³/₅ x - 3

f(x) = ³/₅x² + 2²/₅x - 3
p = -b/(2a) = -¹²/₅:(2·³/₅) = -¹²/₅:⁶/₅ = -¹²/₅·⁵/₆ = -2
q = f(p) = ³/₅·(-2)² + 2²/₅·(-2) - 3 = ³/₅·4 - 4⁴/₅ - 3 = ¹²/₅ - 7⁴/₅ = 2²/₅ - 7⁴/₅ = -5²/₅

f(x) = ³/₅ (x + 2)² - 5²/₅

f) 
f(x)= -²/₃(x-3)(x-4) = -²/₃(x² - 4x -3x + 12) = -²/₃(x² - 7x + 12) = -²/₃x² + ¹⁴/₃x - 8

f(x) = -²/₃x² + 4²/₃x - 8
p = -b/(2a) = -¹⁴/₃:[2·(-²/₃)] = -¹⁴/₃:(-⁴/₃) = ¹⁴/₃·³/₄ = ⁷/₂ = 3¹/₂
q = f(p) = -²/₃·(⁷/₂)² + ¹⁴/₃·⁷/₂ - 8 =  -²/₃·⁴⁹/₄ + ⁹⁸/₆ - 8 =  -⁴⁹/₆ + ⁹⁸/₆ - 8 = ⁴⁹/₆ - 8 =
= 8¹/₆ - 8 = ¹/₆

f(x) = -²/₃(x - 3¹/₂)² +  ¹/₆

2.
równanie osi symetrii:
                                        x = (x₁+x₂)/2 = p

d)   f(x) = -¹/₂(x + 6)(x - 26)
                  x₁ = -6       x₂ = 26

x = (-6+26)/2 = 20:2 = 10
p = 10
q = f(p) = -¹/₂(10 + 6)(10 - 26) = -¹/₂·16·(-16) = 8·16 = 128

f(x) = -¹/₂ (x + 10)² + 128

e)    f(x) = ³/₅(x - 1)(x + 5)
                  x₁ = 1       x₂ = -5

x = (1-5)/2 = -4:2 = -2 
p =-2
q = f(p) = ³/₅(-2 - 1)(-2 + 5) = ³/₅(-3)·3 = -²⁷/₅ = -5²/₅

f(x) = ³/₅ (x - 2)² - 5²/₅

f)   f(x) = -²/₃(x - 3)(x - 4)
                  x₁ = 3       x₂ = 4

x = (3+4)/2 = 7:2 = 3¹/₂
p = 3¹/₂
q = f(p) = -²/₃(3¹/₂ - 3)(3¹/₂ - 4) = -²/₃·¹/₂·(-¹/₂) =  ²/₁₂ = ¹/₆

f(x) = -²/₃(x - 3¹/₂)² + ¹/₆