Question

Znaleźć wszystkie liczby naturalne n , dla których wielomian
(x³-5x+1)^n +(x³-3x-1)^n daje przy dzieleniu przez (x-2) tesztę
(2/√3)*tg20°tg40°tg80°
symbol ^ oznacza podniesienie liczby do potęgi

Answer 1

Niech W(x) = (x³-5x+1)^n +(x³-3x-1)^n

Najpierw obliczmy tg20 * tg40 * tg80

W tym celu potrzebne będą wzory (można je znaleźć np. w tablicach matematycznych):

tg(a+b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b)
tg(a-b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b)
tg(3a) = tg a * (3 - tg^2 a) / (1 - 3 tg^2 a)

Oznaczam przez p(3) pierwiastek z 3

tg60 = p(3)
Przyjmijmy: x = tg20

tg40 = tg(60 - 20) =
= (tg60 - tg20) / (1 + tg60 * tg20) =
= (p(3) - x) / (1+x *p(3))

tg(80) = (tg(60+20)) =
= (tg60 + tg20) / (1 - tg60 * tg20) =
= (p(3)+x) / (1-x*p(3))

Teraz mamy:
tg20 * tg40 * tg80 =
= x * (p(3)-x)/(1+xp(3)) * (p(3)+x)/(1-xp(3)) =
= x * (p(3)-x)*(p(3)+x) / ((1-xp(3))*(1+xp(3))) =
= x * (3 - x^2) / (1 - x^2 * 3) =
= x * (3 - x^2) / (1 - 3x^2) = ... z wzoru na tg3a ... =
= tg (3*20) = tg60 = p(3)

Wracamy do wielomianu:
chcemy, aby resztą z dzielenia W(x) była liczba:
2 / p(3) * tg20 * tg40 * tg80 =
= 2 / p(3) * p(3) = 2

Czyli nasza reszta ma byc 2

Teraz zastanówmy się chwilę, co to oznacza, że W(x) ma dać przy dzieleniu przez (x-2) resztę 2
W można zapisać jako iloraz Q z dzielenia przez (x-2) oraz resztę R:

W(x) = (x-2) * Q(x) + R(x)
W takim zapisie należy pamiętać, że R(x) jest wielomianem, którego stopień jest mniejszy o dzielnika, czyli od (x-2)
A zatem R(x) jest wielomianem o stopniu zerowym (czyli R(x) jest stałą)

Mamy zatem:
W(x) = (x-2) * Q(x) + C
Zauważmy, że:
C = W(x) - (x-2) * Q(x)

My chcemy, aby zachodziło C=2, czyli:
2 = W(x) - (x-2) * Q(x)

A teraz wstawmy x=2, otrzymamy:

2 = W(2) - (2-2)*Q(x) = W(2)

A zatem za chwilę dostaniemy ostateczną odpowiedź na nasze pytanie...
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x-2) będzie wynosić 2, tylko wtedy, gdy W(2) = 2

Policzmy wartość W(2)

W(2) =
= (2³-5*2+1)^n +(2³-3*2-1)^n =
= (8 - 10 + 1)^n + (8 - 6 - 1)^n =
= (-1)^n + 1^n =
= 1 + (-1)^n

Gdy n jest parzyste, to (-1)^n = 1 i wtedy W(2) = 1 + 1 = 2

Gdy n jest nieparzyste, to (-1)^n = -1 i wtedy W(2) = 1 - 1 = 0

Zatem: W(x) daje resztę 2 z dzielenia przez (x-2) wtedy, gdy n jest liczbą parzystą!