Question

Rozwiąż równanie 9xkwadrat + 2√5=3(2+√5)x a następnie uzasadnij że istnieje taki kąt x że jedno z rozwiązań jest sinusem tego kąta a drugie kosinusem.

wiem jak to uzasadniś (z jedynki trygonometrycznej) ale nie wiem jak dojść do tych rozwiązań równania, które są następujące:
x=2/3 lub x=√5/3

Answer 1

9x² + 2√5 = 3(2+√5)x

9x² + 2√5 = 6x + 3√5x

9x² -3√5x - 6x + 2√5 = 0

Funkcja kwadratowa posiada dwa rozwiązania różne lub jednakowe. Treść zadania sueruje, że rozwiązanie istnieje. Można zatem przedstawić tą funkcję w postaci iloczynowej.

a(x-x1)(x-x2)=0

9(x² -[√5x]/[3] - [2x]/[3] + [2√5]/[9] ) = 0

___________________________
[2]/[3] - ułamek dwie trzecie
____________________________

zastosujmy metodę grupowania:

9( x(x - [√5]/[3] ) - [2]/[3] (x - [√5]/[3] ) ) = 0

9(x - [√5]/[3] )(x - [2]/[3] ) = 0 |:9

(x - [√5]/[3] )(x - [2]/[3] ) = 0

x - [√5]/[3] = 0 lub x - [2]/[3] = 0

x = [√5]/[3] lub x = [2]/[3]

Niech
sin a = [√5]/[3]
cos a = [2]/[3]

sin²a + cos²a = ([√5]/[3])² + ([2]/[3])² = [5]/[9] + [4]/[9] = [9]/[9] = 1