Question

1. Podstawa ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędz AD jest wysokoscia ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa ABCD jezeli wiadomo ze |AD|=12 |BC|=6 |BD|=|CD|=13

2. W trójkącie prostokątnym dane są: jeden z kątów ostrych równy 30 stopni oraz długość przyprostokątnej przylegającej do tego kąta równa 4. Oblicz dł pozostałych boków i pole trojkąta

3. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy walca pod kątem alfa takim że tg alfa 2/3. Promien podstawy walca ma dł. 24. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego walca

Answer 1

zad.1

Jeśli krawędź tego ostrosłupa jest wysokością, to trójkąt ABD jest trójkątem prostokątnym.

Długości dwóch jego boków znamy tj. ⇒  przyprostokątna |AD|=12 i przeciwprostokątna |BD|=13, aby obliczyć długość odcinka |AB| posłużymy się twierdzeniem Pitagorasa:

 

|AD|²+|AB|²=|BD|²

|AB|²=13²-12²=169-144=25  /√

|AB|= 5

 

Ponieważ trójkąty ABD i ACD są trójkątami przystającymi:

["dwa trójkąty są przystające, gdy dwa boki jednego z nich mają te same długości, co dwa boki drugiego, a kąty pomiędzy tymi bokami w jednym i drugim trójkącie są równe"], to długość wyliczonego boku |AB| musi się równać długości |AC|  ⇒ |AB|=|AC|=5

 

W podstawie mamy więc trójkąt równoramienny o bokach długości 5,5,6.

Mając tylko te dane możemy wyliczyć jego pole stosując wzór Herona:

⇒ bierzemy połowę obwodu tego trójkąta, oznaczmy ją jako p=(5+5+6)/2=8

⇒ S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√8*(8-5)²(8-6)=√8*9*2=√144=12

 

Mając pole podstawy i wysokość ostrosłupa możemy już obliczyć jego objętość:

V=1/3*[pole podstawy]*H[wysokość]=1/3*12²=1/3*144=48

 

zad.2

Oznaczmy boki naszego trójkąta: a,b,c, gdzie a-podstawa trójkąta, b-wysokość trójkąta (kąt pomiędzy a i b=90*), c-przeciwprostokątna (∢ac=60*, ∢bc=30*)

Trójkąt prostokątny z zadania ma kąty, 90*, 30* oraz 60*, bo (180*-(90*+30*)=60*).

Dorysujmy (umownie) drugą połówkę trójkąta, aby otrzymać trójkąt równoboczny, w którym wysokością byłaby długość przyprostokątnej (nasze b) o długości 4. W trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe, a z naszego "nowego" rysunku wynika taka zależność, c=2a. (boki tego trójkąta wynoszą więc: c,c,2a).

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy wyliczyć nasze "c" oraz "a (c=2a)".

h=(c√3)/2  ⇒  4=(c√3)/2  (domnażamy przez 2)

c√3=8 ⇒ c=8/√3 ⇒ c=8√3/3 (po usunięciu niewymierności z mianownika)

Mamy więc wszystkie boki tego trójkąta: bok c=8√3/3 oraz bok a=8√3/6 (bo (8√3/3)/2)), bok b=4.

 

PΔ=(a*h)/2= (8√3/6*4)/2=((8√3/6)*2)=(8√3)/3

PΔ=(8√3)/3

 

zad.3 (co prawda nie przerabialiśmy jeszcze tego w liceum, ale się douczyłem i w sumie nietrudne zadanie)

 

Przekątna przekroju osiowego walca to prostokąt,  którego 2 bokami są średnice podstaw, pozostałe 2 boki stanowi wysokość tego walca.

Boki występujące jako średnice oznaczmy przez "b", pozostałe dwa jako "a".

Wiemy, że tgα, (gdzie α to kąt nachylenia przekątnej tego prostokąta, do jego boku przy podstawie walca) to stosunek a/b=2/3  ⇒ b=3/2a

 

Wiedząc, że bok "b"jest równocześnie średnicą podstawy, a mając podany jej promień tj.24, łatwo go wyliczymy ⇒ 2*24=48=b

⇒ b=3/2a ⇒ a=32

 

Wzór na pole powierzchni bocznej walca to: Pb = 2πr*H, gdzie H to nasze (a)

Pb = 2π*24*32 ≈ 4823