Question

Udowodnij, że wyrazenie n^3/6 + n^2/2 + n/3 jest liczba naturalną, gdy n jest liczbą naturalną Proszę o rozwiązanie

Answer 1

Na początku trzeba zdefiniować co to jest liczba naturalna. Przyjmijmy, że jest to liczba całkowita dodatnia, czyli n = {1,2,3,4,5,....}

Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika i po wyciagnięciu w liczniku n przed nawias mamy: . Następnie liczymy pierwiastki wyrażenia w nawiasie.Liczymy deltę (wynosi ona 1), potem pierwiastki. Wynoszą one -1 i -2.  Tak więc w liczniki mamy n(n+1)(n+2) - jest to silnia z n+2, czyli (n+2)!. Podstawiając najmniejszą liczbe naturalną czyli 1 mamy 3!/6 = 1*2*3/6 = 1. Zależność ta zachodzi dla dowolnego n, które należy do N