Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości 5 1/3 cm3 wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

Oblicz wysokość i objętość ostrosłupa prawidłowego:
a) czworokątnego o krawędzi podstawy 1dm i krawędzibocznej 2 dm
b) trójkątnego o krawedzi podstawy 8cm i krawedzi bocznej 12 cm
c) sześciokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i krawędzi bocznej 10 cm .
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 2 √3 oblicz wysokość tego ostrosłupa gdy:
a) kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę 60 stopni
b) ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni

Answer 1

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości 5 i 1/3 cm3 wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

V = 5 i 1/3 cm³= 16/3 cm³
a - krawędź podstawy ( kwadratu)
H = 2*a - wysokość ostrosłupa
hś - wysokość ściany bocznej

Pc = ? - pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

1. Obliczam krawędź a podstawy
V = 1/3*Pp *H
V = 16/3 cm²

1/3*Pp *H = 16/3 cm² /*3
Pp*H = 16
a²* 2a = 16
2a³ =16 /:2
a³ = 16 :2
a³ = 8 cm³
a = ∛(8 cm³)
a = 2 cm

3. Obliczam wysokość H ostrosłupa

H = 2*a
H = 2*2 cm
H = 4 cm

3. Obliczam pole podstawy
Pp = a²
Pp = (2 cm)²
Pp = 4 cm²

4. Obliczam hś wysokość ściany bocznej
z tw. Pitagorasa
z trójkata prostokątnego gdzie:
H - przyprostokatna
1/2a - przyprostokatna
hś - przeciwprostokatna

(hś)² = H² + (1/2a)²
(hś)² = (4 cm)² + (1/2*2 cm)²
(hś )² = 16 cm² + 1 cm²
(hś)² = 17 cm²
hś = √(17 cm²)
hś = √17 cm

5. Obliczam pole boczne ostrosłupa
Ostrosłup ma 4 ściany w postaci trójkata o boku a= 2 cm i hś = √17 cm

Pb = 4*1/2*a*hś
Pb = 2*2cm*√17 cm
Pb = 4√17 cm²

6. Obliczam pole całkowite ostrosłupa
Pc = Pp + Pb
Pc = 4 cm² + 4√17 cm²
Pc = 4( 1+ √17) cm²
Pc ≈ 8,12 cm²


Oblicz wysokość i objętość ostrosłupa prawidłowego:
a) czworokątnego o krawędzi podstawy 1dm i krawędzibocznej 2 dm
b) trójkątnego o krawedzi podstawy 8cm i krawedzi bocznej 12 cm
c) sześciokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i krawędzi bocznej 10 cm .

a)rysujesz ostrosłup, ładnie oznaczasz i lecimy:
wyciagniemy podstawe i liczymy polowe przekątnej podstawy. podstawa jest kwadrat więc d(przekątna)= a√2 a połowa przekątnej to bedzie d½=√2/2
teraz z tw. pitagorasa pomiedzy wysokoscia, polowa podstawy a krawedzia boczna, czyli:
(√2/2)²+H²=2²
½+H²=4
H²=4-½
H²=3,5 z tego pierwiastek więc H≈1.9dm

V=⅓*PolePodstawy*H
V=⅓*1*1.9
V=⅓*19/10≈0,62

b)tez rysujesz, ładnie oznaczasz
wyciagasz podstawe i liczysz jej 1/3 wysokosci, czyli:
h=a√3/2 z tego wychodzi 4√3, a z tego jeszcze 1/3 czyli:r=1/3*4√3=4√3/3
teraz znowu z twierdzenia pitagorasa pomiedzy wyokoscia ostroslupa, r i krawedzia boczna:
(4√3/3)²+H²=12²
16/3+H²=144
H²=144-16/3=416/3 z tego pierwiastek i masz H≈11cm

V=1/3*Pp*H=1/3*a²√3/4*11=176√3/3≈102 cm³

c)rysujesz, oznaczasz
wyciagsz podstawe, szesciokat to nic innego jak 6 trojkatow rownobocznych razem...
czyli z tw pitagorasa pomiedzy ramieniem tajiego trojkata ze srodka, wysokoscia a krawedzia boczna:
4²+H²=10²
H²=100-16=84 a z tego pierwiastek to bedzie ok, 9.2 cm

V=1/3*Pp*H= 1/3*[6*16√3/4]*92/10= 2208√3/30≈127cm³


Mam nadzieję,ę pomogłam :))