Question

Dane są wielomiany P(x)= 1/2x^3 -x^2 i Q(x)= 1/2x^3+1.

Wyznacz :

a) stopień wielomianu W(x) = [P(x)]^2-0,5x^3*Q(x)

b) pierwiastki wielomianu W(x)=[P(x)]^2-Q(x)*P(x) c)wartość największą wielomianu W(x)=P(x)-Q(x)

2. Sprawdź ile pierwiastków ma wielomian W.

a) W(x)=(x^2+3x+4)(x^2-1)

b)W(x)=(x^2+5x+4)(x^2+1)

Answer 1

1)  a)  W(x) = [P(x)]²- 0,5x³·Q(x) = (½x³-x²)² - ½x³(½x³+1) =

                  = ¼x⁶-x⁵+x⁴-¼x⁶-½x³ = -x⁵ + x⁴ -½x³

          Zatem   st.w(x) = 5.

     b)  W(x) = [P(x)]² - Q(x)· P(x) = (½x³-x²)² - (½x³+1)·(½x³-x²) =

                  = (½x³-x²)[³-x²-(½x³+1)]=

                  =x²(½x-1)(-x²-1) = -x²(½x-1)(x²+1)

       Wyznaczam pierwiastki wielomianu, przyrównując każdy czynnik do zera:

         W(x) =0  ⇔  x=0   ∨  ½x-1=0      ∨   x²+1=0

                                          ½x=1                sprzeczność

                                            x=2

     Odp.  Pierwiaski wielomianu W(x) to  x=0 i x=2.

     c)   W(x) = P(x) - Q(x) = ½x³-x²-½x³-1 = -x²-1

          Jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola skierowana ramionami w dół. Zatem wartość największą osiąga w wierzchołku.

Czyli:   y max = q = -Δ/4a

       Δ=b²-4ac = 0-4·(-1)·(-1) = -4

       y max = 4/-4 = -1

2)  a)  W(x) = (x²+3x+4)(x²-1) = (x²+3x+4)(x-1)(x+1)

          x²+3x+4=0

           Δ=9-16=-7 <0

         Odp. Wielomian W(x) ma 2 pierwiastki:  x=1 i x= -1.

     b)  W(x) = (x²+5x+4)(x²+1) = (x+1)(x+4)(x²+1)

           x²+5x+4=0

          Δ=25-16=9,  √Δ=3

          x₁=-1, x₂= -4

        Odp. Wielomian W(x) ma 2 pierwiastki:   x=-1 i x= -4.