PROSZE PILNIE O POMOC!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Zad 1. Uzasadnij tożsamość:a) tg^2 alfa - sin^2 alfa= tg^2al.... Question from @Sandra2009

Sandra2009 @Sandra2009

September 2018 1 21 Report

PROSZE PILNIE O POMOC!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Zad 1. Uzasadnij tożsamość:
a) tg^2 alfa - sin^2 alfa= tg^2alfa* sin^2alfa ( ^-potęga)
b) cos alfa* ctg alfa + sin alfa= 1/sin alfa (* mnożenie)
c)( cos alfa/sin alfa-1) + tg alfa=-1/ cos alfa (/ kreska ułamkowa)

Zad2. Znajdź liczby p i q, dla których równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny:
a) 8x^3 - 36x^2 +px +q=0
b) px^3 + qx^2 +x-1=0
c) 125x^3 + px^2 + qx + 8=0
d) 1/8x^3 + px^2+ 3/2x +q=0
Wskazówka: Wielomian trzeciego stopnia który ma pierwiastek trzykrotny można przedstawić w postaci ( ax+b)^3

Zad3. Ustal krotność pierwiastków równania (2x^2 +px+1)^2=0 w zależności od wartości p.

Za poprawne rozwiązanie daje NAJ!!!!!!!!

Roma

Zad. 1 a)

$tg^2 \alpha - sin^2 \alpha = tg^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha$

$tg^2 \alpha - sin^2 \alpha = (\frac{sin \alpha}{cos \alpha})^2 - sin^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} - sin^2 \alpha =$

$= \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} - \frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha - sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha} =$

$= \frac{sin^2 \alpha(1 - cos^2 \alpha)}{cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} \cdot (1 - cos^2 \alpha) = tg^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha$

Zad. 1 b)

$cos \alpha \cdot ctg \alpha + sin \alpha = \frac{1}{sin \alpha}$

$cos \alpha \cdot ctg \alpha + sin \alpha = cos \alpha \cdot \frac{cos \alpha}{sin \alpha}+ sin \alpha = \frac{cos^2 \alpha}{sin \alpha}+ sin \alpha =$

$= \frac{cos^2 \alpha}{sin \alpha} + \frac{sin^2 \alpha}{sin \alpha} = \frac{cos^2 \alpha + sin^2 \alpha}{sin \alpha} = \frac{1}{sin \alpha}$

Zad. 1 c)

$\frac{cos \alpha}{sin \alpha - 1} + tg \alpha = - \frac{1}{cos \alpha}$

$\frac{cos \alpha}{sin \alpha - 1} + tg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha - 1} + \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{cos^2 \alpha}{(sin \alpha - 1)cos \alpha} +$

$+ \frac{sin\alpha(sin \alpha - 1)}{(sin \alpha - 1)cos \alpha} = \frac{cos^2 \alpha + sin\alpha(sin \alpha - 1)}{(sin \alpha - 1)cos \alpha} =$

$= \frac{cos^2 \alpha + sin^2 \alpha - sin \alpha}{(sin \alpha - 1)cos \alpha} = \frac{1 - sin \alpha}{(sin \alpha - 1)cos \alpha} = \frac{-(sin \alpha - 1)}{(sin \alpha - 1)cos \alpha} =$

$= \frac{-1}{cos \alpha} = -\frac{1}{cos \alpha}$

Zad. 2

Wykorzystamy wzory skróconego mnożenia:

1) (ax + b)³ = a³x³ + 3a²x²b + 3axb² + b³

2) (ax - b)³ = a³x³ - 3a²x²b + 3axb² - b³

a) 8x³ - 36x² + px + q = 0

skorzystamy ze wzoru 2

a³x³ = 8x³ /:x³

a³ = 8

a = 2

-36x² = - 3a²x²b /:(-3x²)

12 = a²b

2²b = 12

4b = 12 /:4

b = 3

Zatem:

(2x - 3)³ = 8x³ - 36x² + 54x - 27 i prównując to z 8x³ - 36x² + px + q otrzymamy:

px = 54x /:x

p = 54

q = - 27

Odp. Dla p = 54 i q = - 27 równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny.

b) px³ + qx² + x - 1 = 0

skorzystamy ze wzoru 2)

- b³ = - 1 /·(-1)

b³ = 1

b = 1

3axb² = x /:x

3ab² = 1

3a·1² = 1

3a = 1 /:3

a = ⅓

Zatem:

(⅓x - 1)³ = ¹/₂₇x³ - ⅓x² + x - 1 i prównując to z px³ + qx² + x - 1 otrzymamy:

px³ = ¹/₂₇x³ /:x³

p = ¹/₂₇

qx² = - ⅓x² /:x²

q = - ⅓

Odp. Dla p = ¹/₂₇ i q = - ⅓ równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny.

c) 125x³ + px² + qx + 8 = 0

skorzystamy ze wzoru 1)

a³x³ = 125x³ /:x³

a³ = 125

a = 5

b³ = 8

b = 2

Zatem:

(5x + 2)³ = 125x³ + 150x² + 60x + 8 i prównując to z 125x³ + px² + qx + 8 otrzymamy:

px² = 150x² /:x²

p = 150

qx = 60x /: x

q = 60

Odp. Dla p = 150 i q = 60 równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny.

d) ⅛x³ + px²+ ³/₂x + q = 0

skorzystamy ze wzoru 1)

a³x³ = ⅛x³ /:x³

a³ = ⅛

a = ½

3axb² = ³/₂x /:3x

ab² = ½

¹/₂b² = ½ /·2

b² = 1

b = 1 lub b = - 1

Zatem:

(½x + 1)³ = ⅛x³ + ¾x² + ³/₂x + 1 i prównując to z ⅛x³ + px²+ ³/₂x + q otrzymamy:

px² = ¾x² /:x²

p = ¾

q = 1

lub

(½x - 1)³ = ⅛x³ - ¾x² + ³/₂x - 1 i prównując to z ⅛x³ + px²+ ³/₂x + q otrzymamy:

px² = - ¾x² /:x²

p = - ¾

q = - 1

Odp. Dla p = ¾ i q = 1 lub ala p = - ¾ i q = - 1 równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny.

Zad. 3

(2x² + px + 1)² = 0

(2x² + px + 1)(2x² + px + 1) = 0

2x² + px + 1 = 0 lub 2x² + px + 1 = 0

2x² + px + 1 = 0

a = 2, b = p, c = 1

Liczba rozwiązań (pierwiastków) równania kwadratowego zależy od znaku wyróżnika Δ

Δ = p² - 8

Jeżeli Δ = 0, to równanie ma jeden pierwiastek

p² - 8 = 0

p² = 8

p₁ = √8 = 2√2 lub p₂ = -√8 = -2√2

Zatem dla p = 2√2 lub p₂ = - 2√2 równanie 2x² + px + 1 = 0 ma jeden pierwiastek dwukrotny, czyli

dla p = 2√2 lub p = - 2√2 równanie (2x² + px + 1)² = 0 ma jeden pierwiastek 4-krotny.

Jeżeli Δ > 0, to równanie ma dwa pierwiastki

p² - 8 > 0

Wiemy, że miejscami zerowymi są liczby 2√2 i -2√2, ramiona paraboli y = p² - 8 są skierowane w górę, więc p² - 8 > 0 dla p ∈ (- ∞; -2√2) U (2√2; + ∞).

Zatem dla p ∈ (- ∞; -2√2) U (2√2; + ∞) równanie 2x² + px + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, czyli dla p ∈ (- ∞; -2√2) U (2√2; + ∞) równanie (2x² + px + 1)² = 0 ma dwa pierwiastki 2-krotne.

Jeżeli Δ < 0, to równanie nie ma pierwiastków

p² - 8 < 0

Wiemy, że miejscami zerowymi są liczby 2√2 i -2√2, ramiona paraboli y = p² - 8 są skierowane w górę, więc p² - 8 < 0 dla p ∈ (-2√2; 2√2).

Zatem dla p ∈ (-2√2; 2√2) równanie 2x² + px + 1 = 0 nie ma pierwiastów, czyli również dla p ∈ (-2√2; 2√2) równanie (2x² + px + 1)² = 0 nie ma pierwiastów.

Odp. Równanie (2x² + px + 1)² = 0 dla p = 2√2 lub p = - 2√2 ma jeden pierwiastek 4-krotny, a dla p ∈ (- ∞; -2√2) U (2√2; + ∞) ma dwa pierwiastki 2-krotne.