Question

2.Rozwiąż równania:
a) x³+5x²-9x-45+0
b)(x²+9)(x²-2x)(x²+2x+1)=0
3.Rozwiąż nierówności:
a)-2x⁴+4x³+6x²≤0
b)x³+2x²-9x-18>0
4.Dla jakich wartości a i b liczby -3 i 1 są pierwiastkami wielomianu x³+ax²+bx-9 ?Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.
5.Wykaż ,że liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x⁴-2x³-2x²+6x+5

Answer 1

2.Rozwiąż równania:
a) x³+5x²-9x-45=0
x²(x+5)-9(x+5) = 0
(x+5)(x²-9) = 0
x+5=0 lub x²-9 = 0
x = -5 lub x² = 9
x = -5 lub x = -3 lub x = 3
Odp.x = -5 lub x = -3 lub x = 3

b)(x²+9)(x²-2x)(x²+2x+1)=0
x²+9>0 dla każdego x, więc x²-2x = 0 lub x²+2x+1 = 0
x(x-2) = 0 lub (x+1)² = 0
x = 0 lub x-2 = 0 lub x+1 = 0
x = 0 lub x = 2 lub x = -1
przy czym x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem równania.
Odp. x₁ = x₂ = -1, x₃ = 0, x₄ = 2

3.Rozwiąż nierówności:
a)-2x⁴+4x³+6x²≤0 /:(-2)
x⁴-2x³-3x²≥0
x²(x²-x-3)≥0
ponieważ x²≥0 dla każdego x, zatem
x²-x-3≥0
Δ = 1+12
Δ = 13
√Δ = √13
x₁ = ½(1-√13)
x₂ = ½(1+√13)
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane ku górze, zatem x²-x-3 przyjmuje wartości nieujemne dla
x∈ (-∞;½(1-√13)> u <½(1+√13);+∞)
Odp. Rozwiązaniem nierówności jest x∈ (-∞;½(1-√13)> u <½(1+√13);+∞)

b)x³+2x²-9x-18>0
x²(x+2)-9(x+2)>0
(x+2)(x²-9)>0
x+2>0 i x²-9>0 lub x+2<0 i x²-9<0
x>-2 i (x<-3 lub x>3 ) lub x<-2 i -3<x<3
stąd
x>3 lub -3<x<-2
Odp. Rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (-3;2) u (3; +∞)

4.Dla jakich wartości a i b liczby -3 i 1 są pierwiastkami wielomianu x³+ax²+bx-9 ?Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.
x²+(a-3)x+b-3a+9
------------------------
(x³+ax²+bx-9):(x+3)
-(x³+3x²)
------------
(a-3)x²+bx-9
-[(a-3)x²+3(a-3)x]
-------------------------
(b-3a+9)x-9
-[(b-3a+9)x+3b-9a+27]
----------------------------------------
9a-3b-27-9 to jest reszta, ale aby liczba -3 była pierwiastkiem tego wielomianu to reszta musi być = 0
9a-3b-36 = 0 /:3
3a-b-12=0
stąd
b=3a-12

x²+(a+1)x+a+b+1
------------------------
(x³+ax²+bx-9):(x-1)
-(x³-x²)
-----------
(a+1)x²+bx-9
-[(a+1)x²-(a+1)x]
------------------------
(a+b+1)x-9
-[(a+b+1)x-(a+b+1)]
---------------------------------
a+b+1-9 = 0
a+b-8 = 0
a+b = 8
ale b=3a-12
zatem
a+3a-12 = 8
4a = 20 /:4
a = 5
b = 8-5
b = 3
Dla a = 5 i b = 3 liczby -3 i 1 są pierwiastkami tego wielomianu.
Wobec tego wielomian ma postać:
x³+5x²+3x-9 = (x+3)(x²+2x-3) = (x+3)(x²+3x-x-3) = (x+3)[x(x+3)-(x+3)] = (x+3)(x+3)(x-1)
Stąd wynika, że trzecim pierwiastkiem jest -3(jest to pierwiastek podwójny.
[(x+3)(x²+2x-3) - wielomian w drugim nawiasie wziął się z wyniku dzielenia wielomianu x³+ax²+bx-9 przez (x+3) po podstawieniu za a i b wyliczonych wcześniej wartości]

5.Wykaż ,że liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x⁴-2x³-2x²+6x+5
x³ - 3x² + x + 5
----------------------
(x⁴-2x³-2x²+6x+5):(x+1)
-(x⁴+x³)
---------
-3x³-2x²+6x+5
-(-3x³-3x²)
---------------
x²+6x+5
-(x²+x)
-------------------
5x+5
-(5x+5)
-------------------
= =

x² - 4x + 5
---------------------
(x³ - 3x² + x + 5):(x+1)
-(x³ + x²)
-----------
-4x² + x + 5
-(-4x² - 4x)
---------------------
5x + 5
-(5x + 5)
----------------------
= =

x⁴-2x³-2x²+6x+5 = (x+1)(x+1)(x² - 4x + 5)