Question

zad2. wykaż że ciąg cn=n+2/2n+1 jest malejące dla neN+.

Answer 1

            n+2n

cn  =   ---------        dla n ∈ N+

            2n+1

 

Z def.

Ciąg (an) nazywamy ciagiem malejącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n ≥1 prawdziwa jest nierówność a(n+1) < a(n)

 

                         (n+1)+2               n+2              n+3               n+2

cn+1 - cn =   ------------------   -   ---------   =   -------------   -   ----------   =

                       2(n+1)+1              2n+1           2n+2+1            2n+1

 

 

        n+3            n+2            (n+3)(2n+1)-(n+2)(2n+3)          2n²+n+6n+3-(2n²+3n+4n+6)       

=   ----------   -   ---------   =   --------------------------------   =  ----------------------------------- 

       2n+3            2n+1                 (2n+3)(2n+1)                         (2n+3)(2n+1)

 

 

      2n²+7n+3-2n²-7n-6                  -3

=   --------------------------   =   ------------------   < 0, zatem ciąg jest malejący

         (2n+3)(2n+1)                 (2n+3)(2n+1)