Question

Dla ciała poruszającego się ruchem harmonicznym:

a). wykonaj wykres zależności energii kinetycznej i potencjalnej od wychylenia. Sprawdź, czy suma tych dwóch energii jest stała, wykonując niezbędne rachunki i rysując wykres. (proszę nie robić wykresów tylko obliczyć mi niezbędne dane).

b). utwórz wykres zależności energii potencjalnej i kinetycznej od czasu (bez wykresu, tylko obliczenia)

c). utwórz wykres przedstawiający zalezność wychylenia i prędkości od czasu. (nie robić wykresów, tylko obliczenia)

Równiania na zależność energii kinetycznej i potencjalnej od czasu:

Ek = (mv²)/2 = (mω₀²A²)/2*sin²(ω₀t + φ₀)

Ep= (kx²)/2 = (mω₀²A²)/2*cos²(ω₀t + φ₀)

m - masa drgającego ciała

ω - częstość kołowa drgań

A - amplituda drgań

φ - faza początkowa

Dane:

m = 1/4

A = 1

k = 1/13

φ = 0

i tu nam jeszcze pan podał coś takiego: x(t) = A * cos(ω₀t) i V(t) = -V₀*sin(ω₀t) lub V₀*cos(ω₀t) i jeszcze Ek=1/2k(A²-x²) i Ep=1/2kA² Ek=Ep

Wykresów proszę nie robić, ważne są dla mnie wyłącznie obliczenia!!!! Będę niezmiernie wdzięczna!!! ^^

Answer 1

Ek + Ep = (m*ω₀²*A²/2)*sin²(ω₀t + φ₀) + (m*ω₀²*A²2)*cos²(ω₀t + φ₀)

wyciągamy przed nawias (m*ω₀²*A²/2)

Ek + Ep = (m*ω₀²*A²/2)*[sin²(ω₀t + φ₀) + cos²(ω₀t + φ₀)]

w nawiasie prostokątnym jest jedynka trygonometryczna

sin²(ω₀t + φ₀) + cos²(ω₀t + φ₀) = 1

Ek + Ep = m*ω₀²*A²/2 - nie jest zależne od czasu, a więc stała

Do wykresów Ek i Ep potrzebne jest przekształcenie trygonometryczne

 

cos²(alfa) = [1 + cos(2*alfa)]/2

sin²(alfa) = [1 - cos(2*alfa)]/2

 

Ek = (mω₀²A²/4)*[1+cos(2ω₀t)

Ep= (mω₀²A²/4)*[1-cos(2ω₀t)

Ek jest wykresem funkcji y = A * cos(2X) przesuniętej o A do góry

Ep jest wykresem funkcji y = A * cos(2X) odbitej wzgledem osi ox i przesuniętej o A do góry

Obie funkcje mają okres T dwukrotnie mniejszy niż wykres funkcji położenia

X(t) - A * cos(ω₀t)

 

obliczamy ω₀

 

Ep= (kx²)/2 = (mω₀²A²/2)*cos²(ω₀t + φ₀)

wstawiamy X(t)

(k *A²/2)*cos²(ω₀t + φ₀) = (mω₀²A²/2)*cos²(ω₀t + φ₀)

k = mω₀²

ω₀² = k/m = (1/13)/(1/4) = 4/13

ω₀ = 2*pierwiastek(13)/13

 

Ek = (1/52)*[1+cos(2ω₀t)

Ep= (1/52)*[1-cos(2ω₀t)

 

Wychylenie

x(t) = A * cos(ω₀t) = cos(ω₀t)

V(t) = -V₀*sin(ω₀t)

V₀ = A*ω₀ = 2*pierwiastek(13)/13

 

Jest to trochę mętne - nie chciałaś wykresów

Generalnie domyślając się o co Waszemu Panu Chodziło sprubuję podsumować - może to trochę rozjaśni

1. Wychylenie jest sinusoidalną funkcją czasu (nie ma znaczenia czy opisuje ją funkcja sinus czy cosinus) wykres obydwu jest taki sam tylko przesunięty o 90 stopni (Pi/2), predkość jest funkcją sinusoidalną przesuniętą względem wychylenia o 90 stopni tzn tam gdzie wychylenie jest maksymalne predkość równa się 0, z kolei dla wychylenia równego 0 prędkość jest maksymalna. Z kolei przyspieszenie, a więc także siła jest taką samą funkcją jak wychylenie. Tam gdzie wychylenie jest maksymalne przyspieszenie i siła są maksymalne, dla wychylenia równego 0 przyspieszenie i siła są równe zero.

2. Energie

Zarówno kinetyczna jak i potencjalna mają okres dwukrotnie mniejszy niż wychylenie. Obie oscylują wartośc połowy ich amplitudy od 0 do amplitudy. Tam gdzie Ek ma wartość mksymalną Ep = 0 i odwrotnie.

Jeżeli beda jakieś wątpliwości proszę o pytania. Pozdrawiam