Wyznacz Imz jeżeli : z=((-5+i)/(-2+3i))^9 Proszę o rozwiązanie. Daje NAJ ;).... Question from @Pyska313k

Janek191 [tex] \frac{- 5 + i}{- 2 + 3i} = \frac{- 5 + i}{-2 + 3i}* \frac{-2 - 3i}{-2 - 3i} =
= \frac{10 +15i -2i +3}{4 + 9} = 1 + i
1 + i = \sqrt{2} ( cos 45^{o} + i sin 45^{o})
zatem
z = ( 1 + i)^9 = [ \sqrt{2} *( cos 45^{o} + i sin 45^{o}]^9 =
= ( \sqrt{2})^9*[ cos9*45^{o} + i sin 9*45^{o}] =
=16 \sqrt{2} *[ cos 405^{o} + i sin 405^{o}] =
= 16 \sqrt{2}*[ cos 45^{o} + i sin 45^{o}] =
= 16*( 1 + i) = 16 + 16 i
Odp.
Im z = 16
========

1 votes Thanks 1

Janek191 Po zatem powinno być z = .... , a nie z^9 = ...

Janek191 Im z = 16

Roma $z= (\frac{-5+i}{-2+3i})^9$

$\frac{-5+i}{-2+3i} \cdot \frac{-2-3i}{-2-3i} = \frac{10+15i -2i -3i^2}{4 -9i^2} = \frac{10+13i -3 \cdot (-1)}{4 -9\cdot (-1)} = \frac{10+13i +3}{4 +9} = \frac{13+13i}{13} = \\\\
= \frac{13 \cdot(1+i)}{13} = 1+i$
[Przy dzieleniu liczb zespolonych należy uwolnić mianownik od liczby zespolonej, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną z dzielnikiem].

Stąd otrzymujemy:
$z= (1+ i)^9$

Zamieniamy postać kanoniczną liczby z = 1+ i na trygonometryczną, aby wykorzystać wzór de Moivre'a na n-tą potęgę liczby zespolonej.
$z = 1 + i \\\
a = 1, \ b = 1 \\\
|z| = \sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{1^2 +1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \\\\
sin \ \alpha = \frac{b}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2y} \Rightarrow \alpha = 45^o \\\
cos \ \alpha = \frac{a}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2y} \Rightarrow \alpha = 45^o$

Zatem postać trygonometryczna liczby zespolonej jest następującą:
$z =|z| \cdot (cos \ \alpha + i sin \ \alpha) \\\\
z = \sqrt{2} \cdot (cos \ 45^o + i sin \ 45^o)$

Stąd na podstawie wzoru de Moivre'a na n-tą potęgę liczby zespolonej:
$z = |z|^n [cos \ (n\alpha) +i sin(n\alpha)]$
otrzymujemy:
$z= (1+ i)^9 =(\sqrt{2})^9 \cdot [cos\ (9 \cdot 45^o) + i sin(9 \cdot 45^o)] = \\\\
= 16\sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 16 +16i$

Zatem:
$z= (\frac{-5+i}{-2+3i})^9 = 16 + 16i$

Każda liczba zespolona z może zostać przedstawiona jako:
$z = Rez + iImz$

Stąd:
$z = 16 + 16i \\\
Rez = 16; \ Imz = 16$

Odp. Imz = 16

4 votes Thanks 2

lesio100 Póżna pora - nieskładnie piszę :D . Wyżej między słowami "potęgowaniu" oraz "przy"

lesio100 brakuje "dobrze widać"

lesio100 i w ogóle polecam zapis w formie wykładniczej przy mnożeniu i dzieleniu moduły mnożysz / dzielisz a kąty dodajesz / odejmujesz

Roma Uważam, że każda metoda jest dobra :) to kwestia upodobań :)

lesio100 :) używam tych liczb praktycznie, "okrągłe" kąty są tylko w zadaniach szkolnych :(

lesio100 stąd podejście praktyczne do działania na module i na kącie osobno

lesio100 czemu używam - jestem elektrykiem :)

Roma Pewnie dlatego, a z doświadczenia wiem, że uczniom bardziej "pasuje" postać trygonometryczna i pewnie dlatego akurat z tej postaci skorzystałam :)

lesio100 w zasadzie zapis wykładniczej i trygonometrycznej jest podobny

lesio100 moduł ( i coś z kątem ) :D

Dla jakich wartości p macierz A jest odwracalna? Dla p=1 wyznaczyć A^ -1. p 1 pA= -1 2 0 2 0 3

Ile cm^3 wody należy dodać do rozgtworu chlorku sodu o stężeniu 20%, aby otrzymać 200g roztworu chlorku sodu o stężeniu 12% (gęstość wody należy przyjąć jako 1g/cm^3).

Oblicz masę substancji konieczną do otrzymania 250cm^3, 2-molowego (Cm=2mol/dm^3) roztworu chlorku wapnia: CaClv2 - 2Hv2O. Przedstwa odpowiednie obliczenia i podaj wynik z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Narysuj wzory strukturalne i półstrukturalne następujących związków:2-metylobutan2,3-dimetylo-4-chloropent-2-en3-chloro-3-metylobut-1-yn2-metylopentan2,3-dichloro-4-metyloheks-2-en4-chloro-3-metylohept-1-ynPo napisaniu proszę o podpisanie ich, który to który ;P Z góry dzięki;)

W okrąg o promieniu 5 wpisano trójkąt prostokątny. Oblicz pole P tego trójkąt a, gdy cosinus jednego z kątów ostrych jest równy 1/3. Wynik zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.

Twoja koleżanka z Irlandii prosi Cię o przepis na twoją ulubioną potrawę. Napisz email, w którym:- wyrazisz radość z powodu jej zainteresowania polską kuchnią,- wymienisz potrzebne składniki - przedstawisz metodę przygotowania dania,- wyrazisz nadzieje, że bedzie jej smakowało.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social