Question

Liczby naturalne będące rozwiązaniem nierówności log₂ 3x-2/ x-1 ≥ 1+log₂6-x/2, są początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 90?

Answer 1

(3x -2)/(x-1) > 0 <=> 3*(x - 2/3)*(x -1) > 0 <=> x > 1, bo x ∈ N
oraz( 6-x)/2 > 0 <=> 6 - x > 0 <=> x < 6 oraz x ∈ N
Przy tych założeniach mamy
log₂ [(3x -2)/(x -1)] ≥ 1 + log₂ [(6 -x)/2]
log₂ [(3x -2)/(x -1)] ≥ log₂ 2 + log₂ [(6 -x)/2]
log₂ [(3x -2)/(x-1)] ≥ log₂[(6-x)/2]*2
log₂ [(3x -2)/(x -1)] ≥ log₂ [6 -x]
Ponieważ logarytm przy podstawie a =2 jest funkcją rosnącą
zatem
(3x -2)/(x -1) ≥ 6 - x , mnożymy przez x -1 , bo x -1 > 0
3x -2 ≥ (x -1)*(6 -x)
3x -2 ≥ 6x - x² -6 + x
x² -4x +4 ≥ 0
(x - 2)² ≥ 0 dla dowolnej liczby x , ale x ∈ N oraz
x > 1 ∧ x < 6
zatem
x ∈ { 2,3,4, 5 }
Początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego są liczby
2,3,4,5, zatem
a1 = 2 oraz r = 1
Sn = 90
{[2a1 +(n -1)*r]/2} *n = 90
Po podstawieniu za a1 oraz r otrzymamy
{[4 + (n -1)*1 ]/2} *n = 90
[4 + (n-1)]*n = 180
4n + n² - n = 180
n² +3n - 180 = 0
Δ = 9 -4*1*(-180) = 9 + 720 = 729
√Δ = 27
n = [-3 +27]/2 = 24 /2 = 12
Odp. Należy dodać 12 początkowych wyrazów tego ciągu,
aby otrzymać sumę równą 90.