Question

15 zadań V

1. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=(n+2)^3 - (3n-1)^2. Wyznacz wyraz an+1 tego ciągu. Odpowiedź zapisz w postaci wielomianu uporządkowanego malejąco.

2. W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy 1/16, a drugi 1/8. Wyznacz sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu.

3. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=(pierwiastek5 + 1)n + 2. Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny.

4. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=pierwiastek3/2^n+3. Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.

5. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=n^3-n^2-4n. Wykaż, że ten ciąg ma dokładnie dwa wyrazy równe -4.

6. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=n^4 - 8n^2 + 17. Wykaż, że ten ciąg ma wszystkie wyrazy dodatnie.

7. Liczba x,y,z których suma jest równa 24 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Wyznacz liczbę y.

8. Liczby x,y,z tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Iloczyn tych liczb jest równy 1000. Wyznacz liczbę y.

9. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=(n+4)(n-5)(n-11). Sprawdź który wyraz ciągu jest równy 0.

10. Dany jest ciąg(an) określony wzorem an=5*5^2*5^3...*5^n. Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Odpowiedź zapisz w postaci 5^x ,x należące do C.

11. Sprawdź czy ciąg(tg30st. , cos30st. , tg60st.) jest ciągiem arytmetycznym.

12. Wykaż, że ciąg geometryczny o wyrazach i jest ciągiem stałym.

13.Turysta w ciągu pierwszej godziny marszu przeszedł 8km. Z każdą przemierzającą godziną przemierzał o 1/2 km mniej. W sumie przeszedł 35km. Oblicz ile godzin szedł turysta i ile kilometrów przeszedł w ciągu ostatniej godziny marszu.

14. Długości krawędzi podstawy i wysokość prostopadłościanu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe 366. Wyznacz objętość tego prostopadłościanu.

15. Wyznacz sumę wszystkich naturalnych liczb trzycyfrowych, których reszta z dzielenia przez 8 wynosi 5.

Answer 1

1. an=(n+2)³ - (3n-1)²

an+1 = (n+1+2)³ - [3(n+1)-1]² = (n+3)³ - (3n+2)² = n³ + 9n² + 27n + 27 - 9n² - 6n - 4 = n³ + 21n + 23

2. a₁ = ¹/₁₆

a₂ = ¹/₈ = ²/₁₆

q = 2

S₁₀ = a₁ · (1-q¹⁰)/(1-q) = ¹/₁₆ · (-1023)/(-1) = ¹/₁₆ · 1023 = 63,9375

3. an=(√5 + 1)n + 2

a₁ = √5 + 1 + 2 = √5 + 3

a₂ = 2√5 + 4

a₃ = 3√5 + 5

r=1

 

9. an=(n+4)(n-5)(n-11)

(n+4)(n-5)(n-11)=0

n₁=-4

n₂=5

n₃=11

 

11. tg30°, cos30°, tg60°

√3/3 , √3/2 , √3

r = √3/6 c.arytmetyczny

12. a₁ = 1/(2-√3)

a₂ = 2 + √3

a₂:a₁ = (2+√3)(2-√3) = (4-3) = 1 = q