Question

CIĄGI, proszę o rozwiązanie.

1.Wykaż, że ciąg (an) określony wzorem an=-√3 n-1 jest malejący.

2. Kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego nie są liczby:

a)1/2 , 5/6, 1cała 1/6

b)√2+1, 1/2, -√2

c)√2, √5, √8

d)-2, 2, 6

3. Ile wyrazów ciągu określonego wzorem an=-n²+13n-22 ma wartości dodatnie. Odpowiedź uzasadnij.

Proszę o jasne rozpisanie zadań, dziękuję !

Answer 1

1. ciąg jest malejący wtedy i tylko wtedy gdy an-an+1>0

Zał:

an=-√3 n-1  (1)

an+1=-√3 (n+1) -1=-√3 n-√3-1  (2)

Teza:

an-an+1>0

Dowód;

an-an+1= z(1) i (2)  -√3 n-1+ √3 n+√3+1=  √3 zatem jes to >0

Uzasadnienie:

 

√3>0 ( pierwiastek z 3 to w przybliżeniu 1,7)

 

2.

a) 1\2,5\6,7\6

zatem jest to 3\6,5\6,7\6 zatem jest to ciąg arytmetyczny bo r = const r=2\6

b) √2+1, 1/2, -√2 teraz wykorzystamy zastosowanie ciągu arytmetycznego: a1+a3\2=a2 jeśli wyjdzie nam tożsamość to oznacza że ciąg ten jest arytmetyczny

 

zatem √2+1-√2\2= 1\2 zatem jest to ciąg arytmetyczny

c) √2, √5, √8 oszacujmy sobie w przybliżeniu pierwiastki zatem jest to kolejno:

1,4; 2,2;2,8 zatem ciąg ten nie jest arytmetyczny bo r nie jest równe const.

d) korzystając z zależności z b) możemy stwierdzić że jest to ciąg arytmetyczny

zatem odpowiedź C) do tego zadania

 

3. an=-n^2+13n-22

an>0 wtedy i tylko wtedy gdy

-n^2+13n-22>0

-(n^2-13n+22)>0 mnożymy obustronnie razy-1

n^2-13n+22<0

(n-11)(n-2)<0 zatem zaznaczamy na osi miejsca zerowe tego ciągu czyli 11 i 2 w załączniku załączam plik pokazujący tą oś. zatem ostatecznie z wykresu możemy odczytać że : n należy do przedziału (2;11) zatem an należy (3,4,5,6,7,8,9,10).zatem jest 8 takich wyrazów