Question

Oblicz współczynnik kierunkowy i wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty P I Q

a) P (3, 4), Q (7, 6)

b) P (-2, 7), Q (2, -1)

c) P (1/3, 1) Q (1/2, -1)

d) P (pod pierwisatkiem 3, 4) Q (3 pod pierwiastkiem 3, 10)

Answer 1

W tym zadaniu współczynnik kierunkowy można wyznaczyć z układu równań lub właśnie z równania prostej przechodzącej przez dwa punkty. Nie jest wyraźnie zaznaczone w zadaniu czy wystarczy wyznaczyć tylko równanie prostej i przy okazji wyznacza się wtedy wsp. a, czy obliczać a osobno, więc na wszelki wypadek podam oba obliczenia.

Z układu równań oblicza się wsp. a podstawiając za x i y współrzędne obu punktów do równania kierunkowego prostej y = ax + b

 

a)

4 = 3a + b

6 = 7a + b

 

b = 4 - 3a

6 = 7a + 4 - 3a

 

b = 4 - 3a

2 = 4a

 

a = ½ - współczynnik kierunkowy prostej

 

równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty : (x₂-x₁)(y-y₁) = (y₂-y₁)(x-x₁)

podstawiamy odpowiednio współrzędne obu punktów:

 

(7 - 3)(y - 4) = (6 - 4)(x - 3)

4(y - 4) = 2(x - 3)

4y - 16 = 2x - 6

4y = 2x + 10/ :4

y = ½x + 5/2     - równanie prostej o współczynniku kierunkowym ½

przechodzącej przez punkty (3,4) i (7,6)

 

b)

7 = -2a + b

-1 = 2a + b

 

b = 7 + 2a

-1 = 2a + 7 + 2a

 

b = 7 + 2a

-8 = 4a

 

a = -2

 

(2 + 2 )(y - 7) = (-1 -7)(x + 2)

4(y - 7) = -8(x + 2)

4y - 28 = -8x - 16

4y = -8x + 12/ :4

y = -2x + 3

 

c)

1 = ⅓ a + b

-1 = ½ a + b

 

b = 1 - ⅓ a

-1 = ½ a  + 1 - ⅓ a

 

b = 1 - ⅓ a

-2 = ⅙ a / * 6

 

a = -12

 

(½ - ⅓)(y - 1) = (-1 -1)(x - ⅓)

(3/6 - 2/6)(y - 1) = -2(x - ⅓)

⅙(y - 1) = -2x + ⅔

⅙y -⅙ = -2x + ⅔

⅙y = -2x + 4/6 + ⅙

⅙y = -2x + ⅚/ * 6

y = -12 + 5

 

d)

4 = √3a + b

10 = 3√3a + b

 

b = 4 - √3a

10 = 3√3a + 4 - √3a

 

b = 4 - √3a

6 = 2√3a /: 2√3

 

a = 6/2√3

a = 3/√3 * √3/√3 = 3√3/3 = √3   - mnożymy 3/√3 przez √3/√3, aby usunąć niewymierność, czyli pierwiastek z mianownika

 

(3√3 - √3)(y - 4) = (10 - 4)(x - √3)

2√3(y - 4) = 6(x - √3)

2√3y - 8√3 = 6x - 6√3

2√3y = 6x + 2√3 /: 2√3

y = 6/2√3 x + 1

y = 3/√3 * √3/√3 x + 1

y = 3√3/3 x + 1

y = √3x + 1