Question

1.wyznacz parametr m tak, aby dziedziną funkcji był zbiór R

f(x)=

2.Suma długości 3 krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka wynosi 8. Długość jednej z tych krawędzi jest 3 razymniejsza od drugiej. Wyznacz długości krawędzi prostopadłościanu tak, aby jego V byłą największa

Answer 1

Zad. 1

Aby dziedziną funkcji f(x) był zbiór R to wyrażenie pod pierwiastek musi być większe lub równe zero.

Wyrażenie pod pierwiastkiem to funkcja kwadratowa, a wartości takiej funkcji są większe lub równe zero jeśli a > 0 i Δ ≤ 0, zatem

Rozwiązujemy nierówność wielomianową

Wielomian W(m) = - 4m³ + 7m² + 4dzieli się przez dwumian (m - 2), bo W(2) = 0 (-4·2³+7·2²+4 = -4·8+7·4+4=-32+28+4=0), zatem wielomian W(m) możemy zapisać w postaci iloczynowej: - 4m³ + 7m² + 4 = (m - 2)(- 4m² - m - 2), stąd

Znajdujemy miejsca zerowe:

, czyli równanie nie ma rozwiązań, zatem jedynym miejscem zerowym jest liczba 2.

Rysujemy przybliżony wykres (patrz załącznik) i z niego odczytujemy, że

, czyli

Odp. Dziedziną funkcji f(x) będzie zbiór R dla m ≥ 2, czyli dla m ∈ <2; +∞)

 

Zad. 2

a, b , c - krawędzie prostopadłościanu

V - objętość prostopadłościanu

Z treści zadania:

suma długości 3 krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka wynosi 8: a + b + c = 8

długość jednej z krawędzi jest 3 razy mniejsza od drugiej: a  = 3b

Stąd:

3b + b + c = 8

4b + c = 8

c = 8 - 4b

 

V = a·b·c

V = 3b·b·(8 - 4b) = 3b²·(8 - 4b) = 24b² - 12b³ = - 12b³ + 24b²

Mamy zatem wyznaczyć największą objętość V w zależności od b, czyli należy obliczyć maksimum funkcji V(b) w przedziale (0; 8)

V(b) = - 12b³ + 24b²

Wiemy, że funkcja V(b) osiąga w b₀ ekstremum jeżeli V'(b₀) = 0, zatem liczymy pierwszą pochodną

V'(b) = - 36b² + 48b i sprawdzamy dla jakich b jest ona równa zero:

- 36b² + 48b = 0 /:(-12)

3b² - 4b = 0

b·(3b - 4) = 0

b = 0 v 3b - 4 = 0

b = 0 odrzucamy, b ≠ 0

3b - 4 = 0

3b = 4 /:3

b = ⁴/₃ = 1⅓

Musimy obliczyć drugą pochodną i jesli wartość drugiej pochodnej dla b = ⁴/₃ przyjmie wartość ujemną to w tym punkcie funkcja osiąga maksimum, gdy dodatnią − minimum, gdy 0 to jest to przypadek wątpliwy.

V"(b) = - 72b + 48

V"(⁴/) = - 72 · ⁴/₃+ 48 = -96 + 48 = -48 < 0, czyli dla b = ⁴/₃objętość będzie maksymalna (największa)

Stąd:

b = ⁴/₃= 1⅓

a = 3b = 3 · ⁴/₃ = 4

c = 8 - 4b = 8 - 4 · ⁴/₃ = ²⁴/₃ - ¹⁶/₃ = ⁸/₃ = 2⅔

V = 4 · ⁴/₃ · ⁸/₃ = ¹²⁸/₉ = 14²/₉ j³

 

Answer 2

(m -1) x^2 + m p(7) x + m^2 + m + 1 > = 0

musi być

m - 1 > 0

delta < =  0

-------------------

m > 0

delta = 7 m^2 - 4*(m -1)*(m^2 + m + 1)

delta = 7 m^2 - 4*(m^3 + m^2 + m - m^2 - m - 1 )

delta = 7 m^2 - 4 m^3 + 4  = ( 2 - m )*( 4 m^2 + m + 2)

delta 1 = 1^2 - 4*4*2 = 1 - 32 = - 31 < 0 , zatem  4 m^2 + m + 2 > 0

dla dowolnej liczby m

zatem

delta =(2 - m)*( 4 m^2 + m + 2) < = 0   <=> 2 - m < = 0 <=> m > = 2

Odp. m > = 2

===============

z.2

x,y , z  - długości krawędzi prostopadłościanu

Mamy

y = 3x

oraz

x + 3x + z = 8

-------------------

4x + z = 8

z = 8 - 4x

Objętośc prostopadłościanu

V(x) = x*y*z = x*3x*(8 - 4x) = 3 x^2 *( 8 - 4x) = 24 x^2 - 12 x^3

V(x) = - 12 x^3 + 24 x^2

-------------------------------

V ' (x) = - 36 x^2 + 48 x  = x *( - 36 x + 48) = 0 <=> x = 0   lub x = 48/36

x = 0 odpada

x = 4/3

======

V '' ( 4/3) = -36*(4/3)^2 + 48*(4/3) = - 36*(16/9) + 192/9 = - 576/9 + 192/9

czyli V '' ( 4/3) = - 384/9 < 0

Funkcja V(x) posiada maksimum dla x = 4/3

wtedy   y = 3*(4/3) = 4  oraz z = 8 - 4*(4/3) = 8 - 16/3 = 24/3 - 16/3 = 8/3

Odp. x = 4/3,   y =  4 , z = 8/3

=================================