Question

1.Współczynniki (a,b,c) trójmianu kwadratowego y=ax²+bx+c tworzą ciąg arytmetyczny,którego suma jest równa 6. Suma pierwiastków tego trójmianu jest równa 2. Wyznacz współczynniki a,b i c.

2. Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich złożonych z 2n wyrazów.Suma n początkowych wyrazów jest 7 razy większa niż suma n wyrazów następujących po nich. Oblicz iloraz tego ciągu.

3.Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4. Objętość prostopadłościanu jest równa 45. Oblicz pole całkowite prostopadłościanu.

W zad.1 ma wyjść : > a=-1, b=2, c=5

Answer 1

z.1

 y = a x^2 + b x + c

( a,b,c ) - ciag arytmetyczny, więc

b - a = c - b  => 2 b = a + c

 

a + b + c  = 6

x1 + x2 = - b/a + 2

zatem

b + (a + c) = 6

b + 2b = 6

3 b = 6

b = 2

=====

- b/a = 2

czyli

- 2 / a = 2

a = - 1

=======

a + b + c = 6  => c = 6 - a - b

c = 6 - (-1) - 2 = 5

===================

Odp.  a = - 1,  b = 2,  c = 5

=============================

z.2

 

a1, 12, ..., a2n > 0

q < 1

 Sn = a1 *[ 1 - q^n]/(1 - q)

S2n = a1*[ 1 - q^(2n(]/( 1 - q)

zatem

Sn = 7*[ S2n - Sn]

Sn = 7 *S2n - 7*Sn

8* Sn = 7* S2n

8* a1 *[ 1 - q^n]/(1 - q) = 7* a1 *[1 - q^(2n)]/(1 - q)

8*(1 - q^n) = 7*( 1 - q^(2n))

8 - 8*q^n = 7 - 7*q^(2n)

7*q^(2n) - 8*q^n + 1 = 0

7* ( q^n)^2 - 8* q^n + 1 = 0

---------------------------------

delta = ( -8)^2 - 4*7*1 = 64 - 28 = 36

p (delty) = 6

q^n = [ 8 - 6]/14 = 2/14 = 1/7   => q = pierwiastek n -tego stopnia z 1/7

lub

q^n = [ 8 + 6]/14 = 14/14 = 1 => q = 1  - odpada, gdyz ciag byłby stały.

Odp.  q = pierwiastek n - tego stopnia z 1/7

===========================================

z.3

Mamy długości krawędzi:

x, x + 4, x + 8

x*(x + 4)*( x + 8) = 45 = 1*5*9

x = 1

x + 4 = 1 + 4 = 5

x + 8 = 1 + 8 = 9

zatem pole jest równe

P = 2*(1*5 + 1*9 + 5*9) = 2*( 5 + 9 + 45) = 2* 59 = 118

Odp. P = 118

=================