Question

1. Długość prostokąta powiększono o p% , a szerokość zmniejszono o p% . Otrzymano prostokąt , którego pole jest o 16% mniejsze od pola pierwotnego prostokąta. Oblicz p .

2. W kwadrat o boku 6 cm wpisano drugi kwadrat w ten sposób , że boki kwadratów tworzą kąt 30 stopni . Oblicz pole mniejszego kwadratu .

Answer 1

2.
Bok mniejszego kwadratu ozn. g
Odcinki, na jakie podzielił wierzchołek mniejszego kwadratu bok większego ozn. x i y
x + y = 6
sin30= y/g
1/2 = y/g
2y = g
y = g/2

cos30 = x /g
pierwiastek z 3 / 2 = x/g
2x = g * pierwiastek z 3
x= (g * pierwiastek z 3) / 2

wstawiając do: x + y = 6 mamy
g/2 + (g * pierwiastek z 3) / 2 = 6 /*2 obie str. mnożę przez 2
g +(g * pierwiastek z 3) = 12
g(1 +pierwiastek z 3) = 12 / : (1 +pierwiastek z 3)
g = 12 / (1 +pierwiastek z 3)
pozbywam sie niewymierności w mianowniku
g =12*(1 - pierwiastek z 3)/(1 +pierwiastek z 3)(1 -pierwiastek z 3)

g=12*(1 -pierwiastek z 3)/1-3
g=12*(1 -pierwiastek z 3)/(-2)
g=-6((1 -pierwiastek z 3)
g=-6 + 6 pierwiastków z 3
g= 6pierwiastków z 3 - 6
Pole mniejszego kwadratu:
g*g =(6pierwiastków z 3 - 6)do kwadratu

g do kwadratu = 108 - 72pierwiastki z 3 + 36=
36 (3 - 2pierwiastki z 3 +1)

Odp. Pole mniejszego kwadratu wynosi: 36 (3 - 2pierwiastki z 3 +1)


1.

((100+p)
10000+p [pkwadrat] = 8400
p [ pkwadrat] = 40

Answer 2

A - dł prostokąta
zad.1.
b - szer. prostokata
P = ab
nowy prostokąt
a + p%a - dł
b - p%b - szer
P = (a+p%a)(b-p%b)

(a+p%a)(b-p%b) = 84%ab
ab - p%ab + p%ab - (p%)²ab = 84%ab
ab - p²/₁₀₀₀₀ ab = ⁸⁴/₁₀₀ab /:ab
1 - p²/₁₀₀₀₀ = ⁸⁴/₁₀₀ /×10000
10000 - p² = 8400
p² = 1600
p = 40
odp 40%

zad.2.
na rysunku powstają trójkaty prostokatne o bokach x, 6-x, 2x (z zależnosci w trójkacie o katach 30, 60, 90)
bok przy kącie 30° ma długosć 6-x, więc z drugiej strony
6-x = x√3
x√3 + x = 6
x(√3 + 1) = 6
x = 6/(√3+1)
więc bok małego kwadratu, a przeciwprostokątna tego trójkąta 2x = 12/(√3+1)
a=2x=6(√3+1)
P = a²
P = 36(√3+1)² = 36(3+2√3+1) = 72(2+√3)cm²